Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat

Abstract

Tämän tutkielman tavoitteena on esittää, miten analyyttisen funktion määrittelyjoukko laajennetaan Riemannin pinnaksi, joka sisältää informaation kaikista funktion analyyttisistä jatkeista kompleksitasossa. Tätä Riemannin pintaa sanotaan kyseisen analyyttisen funktion Riemannin pinnaksi. Konstruktiota varten täytyy ensin tarkastella analyyttisen jatkeen käyttäytymistä kompleksitasossa, Riemannin pintojen ja kompleksitason välistä yhteyttä sekä perusryhmän ja peitteiden käyttäytymistä Riemannin pintojen kontekstissa. Erityisesti tarkastellaan miten useat kompleksianalyysin perustulokset yleistyvät suoraan Riemannin pinnoille ja Riemannin pintojen analyyttisille funktioille sekä sitä, milloin Riemannin pinnan lokaali homeomorfismi on peite.

Tärkeimpiä tarkasteltavia funktioita tutkielmassa ovat juurifunktiot ja logaritmi. Osoittautuu, että näiden funktioiden analyyttisen jatkeen käyttäytyminen punkteeratussa kiekossa karakterisoi kaikkien punkteeratussa kiekossa vapaasti jatkettavien analyyttisten funktioiden käyttäytymisen. Erityisesti juurifunktion käyttäytymisen tunteminen antaa tavan käsitellä analyyttisen funktion Riemannin pinnan muodostamiseen tarvittavia haarautumispisteitä. Lisäksi tarkastellaan algebrallisten funktioiden analyyttisen jatkeen käyttäytymistä ja sitä, miten algebrallisen funktion Riemannin pinnan konstruktiota voidaan soveltaa algebrallisten käyrien tarkasteluun.