Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat
Tämän tutkielman tavoitteena on esittää, miten analyyttisen funktion määrittelyjoukko laajennetaan Riemannin pinnaksi, joka sisältää informaation kaikista funktion analyyttisistä jatkeista kompleksitasossa. Tätä Riemannin pintaa sanotaan kyseisen analyyttisen funktion Riemannin pinnaksi. Konstruktiota varten täytyy ensin tarkastella analyyttisen jatkeen käyttäytymistä kompleksitasossa, Riemannin pintojen ja kompleksitason välistä yhteyttä sekä perusryhmän ja peitteiden käyttäytymistä Riemannin pintojen kontekstissa. Erityisesti tarkastellaan miten useat kompleksianalyysin perustulokset yleistyvät suoraan Riemannin pinnoille ja Riemannin pintojen analyyttisille funktioille sekä sitä, milloin Riemannin pinnan lokaali homeomorfismi on peite.
Tärkeimpiä tarkasteltavia funktioita tutkielmassa ovat juurifunktiot ja logaritmi. Osoittautuu, että näiden funktioiden analyyttisen jatkeen käyttäytyminen punkteeratussa kiekossa karakterisoi kaikkien punkteeratussa kiekossa vapaasti jatkettavien analyyttisten funktioiden käyttäytymisen. Erityisesti juurifunktion käyttäytymisen tunteminen antaa tavan käsitellä analyyttisen funktion Riemannin pinnan muodostamiseen tarvittavia haarautumispisteitä. Lisäksi tarkastellaan algebrallisten funktioiden analyyttisen jatkeen käyttäytymistä ja sitä, miten algebrallisen funktion Riemannin pinnan konstruktiota voidaan soveltaa algebrallisten käyrien tarkasteluun.
...
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [28039]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Pintojen perusryhmistä
Schultz, Timo (2015)Tässä tutkielmassa osoitetaan ennestään tunnettu pintoihin liittyvä tulos, jonka mukaan epäkompaktin pinnan perusryhmä on vapaa. Todistus pohjautuu tietoon siitä, että jokaisella pinnalla on olemassa niin sanottu kolmiointi. ... -
Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset
Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ... -
Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla
Kauppinen, Jussi (2020)Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ... -
Polynomikasvuiset kokonaiset funktiot
Saariaho, Ville-Matias (2022)Tässä matematiikan pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan kompleksianalyysin keinoin polynomikasvuisia kokonaisia funktioita. Polynomikasvuisuus voidaan muotoilla tarkastelemalla funktion f modulia eli itseisarvoa. Jos ... -
Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia
Jäntti, Pasi (2019)Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka ...