Ryhmä SO(3) ja sen lineaariset redusoitumattomat esitykset

Abstract

<p>Ryhmät ovat yksinkertaisina mutta elegantteina algebrallisina rakenteina jo pitkään olleet keskeinen osa niin puhdasta kuin sovellettuakin matematiikkaa. Erityisesti ryhmät soveltuvat erilaisten <i>symmetrioiden</i> esittämiseen. Ryhmien esitysteoriassa voidaan ryhmien rakennetta koskevia ongelmia palauttaa <i>lineaarialgebran</i> ongelmiksi, jotka ovat hyvin ratkaistavissa. Tämä tapahtuu kuvaamalla ryhmä <i>homomorfisesti</i> lineaarikuvausten ryhmään. Osoittautuu myös mielenkiintoiseksi tutkia jo itsessään lineaarikuvauksista muodostuvien ryhmien epätriviaaleja lineaarisia esityksiä.</p><p> Erityisen tarkastelun kohteena tutkielmassa on <i>klassinen matriisiryhmä</i> SO(3), joka siis koostuu avaruuden &#8477;³ rotaatiokuvauksista. Ryhmä SO(3) muiden klassisten matriisiryhmien tapaan on erityisesti ns. <i>Lien ryhmä</i>, ts. <i>sileä monisto</i> siten, että ryhmän operaatio ja käänteisalkion muodostaminen ovat vastaavassa mielessä <i>sileitä kuvauksia</i> (Sophus Lie, 1842-1899). Monistoja puolestaan voidaan luonnehtia käyrien ja pintojen yleistyksiksi. Tarkemmin ilmaistuna monisto on <i>topologinen avaruus</i>, joka on <i>lokaalisti euklidinen</i>, ts. jokaisella pisteellä on ympäristö, joka on <i>homeomorfinen</i> jonkin euklidisen avaruuden &#8477;ⁿ avoimen joukon ts. <i>kartan</i> kanssa. Monisto on <i>sileä</i>, jos siirtymät karttojen välillä ovat avaruuden &#8477;ⁿ sileitä kuvauksia. </p><p> Lien ryhmät ovat merkillisiä monistoja siinäkin mielessä, että niiden geometria on pitkälti kuvattavissa algebrallisesti ns. <i>Lien algebran</i> avulla. Osoittautuu, että tämä Lien ryhmää <i>vastaava</i> Lien algebra saadaan aina moniston <i>tangenttiavaruudesta</i> neutraalialkiolle. Riittävän siistissä tapauksessa koko ryhmän geometria määräytyy pelkästään sitä vastaavasta Lien algebrasta. Kuitenkin aina <i>neutraalialkion sisältävä yhtenäinen komponentti</i> määräytyy Lien ryhmää vastaavasta Lien algebrasta. </p><p> Lien ryhmien esitysteoria eroaa hieman <i>äärellisten</i> ryhmien esitysteoriasta, sillä ryhmän rakenteen säilymisen homomorfismissa lisäksi vaaditaan moniston <i>sileän struktuurin</i> säilymistä. Lisäksi useat Lien ryhmät, kuten SO(3), ovat <i>kompakteja</i>. Tämä tarkoittaa puolestaan sitä, että käyttöön saadaan myös <i>kompaktien topologisten ryhmien</i> esitysteorian tulokset, kuten <i>unitaaristen</i> esitysten olemassaolo ja <i>Peterin ja Weylin lause</i> (Hermann Weyl, 1885-1955 sekä hänen oppilaansa Fritz Peter, 1899-1949). Nämä perustuvat pohjimmiltaan ns. <i>Haarin mitan</i> (Alfréd Haar, 1885-1933) olemassaoloon kaikilla <i>lokaalisti kompakteilla topologisilla ryhmillä</i>, joita kompaktit ryhmät tietysti ovat. </p><p> Tutkielman päätuloksena esitetään ryhmän SO(3) redusoitumattomien esitysten konstruktio, sekä todistus sille, että kaikki muut redusoitumattomat esitykset ovat ekvivalentteja tälle konstruktiolle. Konstruktiossa päädytään ns. <i>palloharmonisiin</i> funktioihin.</p>