Pääideaalialueen moduulien päälause
Authors
Date
2021Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tämän tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulien teoria ryhmä- ja rengasteorian alkeista lähtien, sekä osoittaa pääideaalialueiden moduulien päälause.
Moduuli on joukko G varustettuna yhteenlaskutoimituksella, joka tekee siitä abelin ryhmän, sekä toiminnaksi kutsutulla kuvauksella joka liittää jokaiseen G:n kertoimien renkaan alkioon ja G:n alkioon jonkin G:n alkion. Toiminnan määritellään myös toteuttavan vektoriavaruuksien tunnetut distributiivisuusominaisuudet, jolloin se yleistää vektoriavaruuden skalaaritulon käsitteen yleiselle renkaalle. Näin ollen vektoriavaruuden yleisen määritelmän nojalla vektoriavaruudet ovat täsmälleen kuntakertoimisia moduuleja. Osoittautuu, että myös abelin ryhmät ja renkaat ovat moduuleja, joiden kerroinrenkaina ovat vastaavasti kokonaislukujen rengas, sekä rengas itse. Tulemme huomaamaan, että monet ryhmä- ja rengasteorian tuloksista yleistyvät myös moduuleille.
Tutkimme, kuinka moduulin kerroinrenkaan rakenne vaikuttaa itse moduulin ominaisuuksiin. Tulemme osoittamaan, että pääideaalialueitten tapauksessa jokainen pääideaalialueen moduuli voidaan esittää yksikäsitteisesti suorana summana vapaasta moduulista, eli moduulista jolla on vektoriavaruuden tavoin kanta, sekä äärellisen monesta syklisestä tekijämoduulista. Tarkastelemme lopuksi lyhyesti joitain tämän pääideaalimoduulien päälauseeksi kutsutun tuloksen sovelluksia, kuten äärellisesti viritettyjen abelin ryhmien päälausetta, sekä neliömatriisin Jordanin kanonista muotoa.
...
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29636]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
The minimal number of generators for ideals in commutative rings
Pirnes, Erika (2018)Olkoon R kommutatiivinen rengas. Tämän tutkielman tarkoituksena on etsiä ylä- ja alarajat äärellisviritteisen ideaalin I = (a1, . . . , an) ⊂ R minimaaliselle virittäjämäärälle. Tärkeänä työkaluna toimii moduliteoria; ... -
Algebrallista lukuteoriaa : Pellin yhtälöstä ja aritmetiikan peruslauseen yleistämisestä
Ojaniemi, Jenna (2019)Tutkielman tarkoituksena on Pellin yhtälön ratkaiseminen ja aritmetiikan peruslauseen voimassaolon tutkiminen algebrallisten kokonaislukujen muodostamissa renkaissa \mathbb{Z}[\sqrt{-2}], \mathbb{Z}[\sqrt{-3}],\mathbb{Z} ... -
From neurosis to growth in The Fire-Dwellers : "I didn't see that at one time, but I see it now"
Alikoski, Anne-Mari (1998) -
Yhteiskunnallisesti relevantin tutkimuksen objektiivisuuden ehdot Heather Douglasin filosofiassa
Tiihonen, Sini (2023)Viime vuosina tieteenfilosofiassa on käyty laajaa keskustelua siitä, miten tieteen integriteetin ja objektiivisuuden toteutuminen voidaan varmistaa sellaisilla tutkimusaloilla, joiden odotetaan tuottavan yhteiskunnallisesti ... -
Perinnöllisyys oliosuuntautuneessa ohjelmoinnissa : luokka- ja prototyyppilähestymistavat
Taivalsaari, Antero (1989)