Show simple item record

dc.contributor.authorHarja, Annika
dc.date.accessioned2013-10-01T15:52:17Z
dc.date.available2013-10-01T15:52:17Z
dc.date.issued2013
dc.identifier.otheroai:jykdok.linneanet.fi:1284048
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/42260
dc.description.abstractHarja, A. 2013.Derivaattafunktion ominaisuuksia.Jyväskyläan yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos,matematiikan pro gradu -tutkielma. Derivaattafunktio on eräs analyysin keskeisistä käsitteistä. Sitä tarkastellaan kuitenkin melko vähän opintojen aikana analyysin kursseilla, joten siihen liittyvät ominaisuudet ja tulokset voivat olla monilta osin vieraita. Tämän tutkielman tarkoituksena onkin tutustua lähemmin derivaattafunktioon ja sen eri ominaisuuksiin sekä näin laajentaa matemaattista ymmärrystä analyysin saralta. Päätavoitteena tässä työssä on siis selvittää, mitä derivaattafunktion jatkuvuus- ja integroituvuusominaisuuksista voidaan saada selville. Derivaattafunktion jatkuvuusominaisuuden tarkastelussa tullaan huomaamaan, ettei derivaattafunktio ole aina jatkuva, vaan se voi olla myös epäjatkuva. Sen vuoksi työssä tullaan tarkemmin tarkastelemaan epäjatkuvuutta sekä selvitetään minkälaisia epäjatkuvuuden tyypit: hyppäys-, poistuva- ja oleellinen epäjatkuvuus, oikein ovat. Se, millä tavoilla derivaattafunktio voi olla epäjatkuva, ei ole aivan selvää. Tämän asian tutkimiseen tarvitaan Darboux-ominaisuuden tuntemusta. Darboux-ominaisuus kuvaa derivaattafunktion väliarvo-ominaisuutta. Sen todistuksessa on huolehdittava, ettei siinä missään vaiheessa käytetä oletusta funktion jatkuvuudesta, koska kaikki derivaattafunktiot eivät ole jatkuvia. Kun derivaattafunktiota sitten tutkitaan Darboux-ominaisuuden valossa, havaitaan, että jos derivaattafunktio on epäjatkuva, on se aina oleellisesti epäjatkuva. Työssä esitellään myös erilaisia esimerkkejä epäjatkuvista derivaatoista. Tutkielmassa tarkastellaan myös derivoituvuuden ja integroituvuuden välistä yhteyttä, jota kuvaa Analyysin peruslause. Sen pohjalta tullaan tutkimaan derivaattafunktion integroituvuusominaisuutta. Sitä tarkastellaan kahden esimerkkitapauksen, Volterran ja Pompeiun funktion, avulla. Näissä tutkimuksissa havaitaan, että kaikki derivaattafunktiot, myös rajoitetut, eivät ole aina Riemann-integroituvia. Tämän havainnon osoittamiseksi on tutustuttava ensin Smith-Volterra-Cantor -joukkoihin ja niiden ominaisuuksiin sekä Lebesguen ehtoon Riemann-integroituvuudelle. Näiden lisäksi tässä työssä tutkitaan vielä derivaattafunktion jatkuvuuspisteiden joukon kokoa. Sen perusteella voidaan tehdä päätelmiä siitä, onko derivaattafunktion määrittelyjoukossa enemmän jatkuvuus- vai epäjatkuvuuspisteitä sekä miten nämä joukot suhteutuvat toisiinsa. Derivaattafunktion jatkuvuuspisteiden joukon kokoon liittyvissä tutkimuksissa tarvitaan funktion heilahtelun sekä Bairen kategoria -lauseen tuntemusta. Näiden asioiden tuntemusta tarvitaan myös derivaattafunktion integroituvuusominaisuuden tutkimisessa. Lopputuloksena havaitaankin, että derivaattafunktion jatkuvuuspisteiden joukko on aina tiheä funktion määrittelyjoukossa.fi
dc.format.extent1 verkkoaineisto.
dc.language.isofin
dc.rightsThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.rightsJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.titleDerivaattafunktion ominaisuuksia
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-201310012385
dc.type.ontasotPro gradufi
dc.type.ontasotMaster's thesisen
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.oppiaineMatematiikkafi
dc.contributor.oppiaineMathematicsen
dc.date.updated2013-10-01T15:52:18Z
dc.rights.accesslevelopenAccessfi
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysomatematiikka
dc.subject.ysofunktiot


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record