Derivaattafunktion ominaisuuksia

Abstract

Harja, A. 2013.Derivaattafunktion ominaisuuksia.Jyväskyläan yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos,matematiikan pro gradu -tutkielma.

Derivaattafunktio on eräs analyysin keskeisistä käsitteistä. Sitä tarkastellaan kuitenkin melko vähän opintojen aikana analyysin kursseilla, joten siihen liittyvät ominaisuudet ja tulokset voivat olla monilta osin vieraita. Tämän tutkielman tarkoituksena onkin tutustua lähemmin derivaattafunktioon ja sen eri ominaisuuksiin sekä näin laajentaa matemaattista ymmärrystä analyysin saralta. Päätavoitteena tässä työssä on siis selvittää, mitä derivaattafunktion jatkuvuus- ja integroituvuusominaisuuksista voidaan saada selville.

Derivaattafunktion jatkuvuusominaisuuden tarkastelussa tullaan huomaamaan, ettei derivaattafunktio ole aina jatkuva, vaan se voi olla myös epäjatkuva. Sen vuoksi työssä tullaan tarkemmin tarkastelemaan epäjatkuvuutta sekä selvitetään minkälaisia epäjatkuvuuden tyypit: hyppäys-, poistuva- ja oleellinen epäjatkuvuus, oikein ovat. Se, millä tavoilla derivaattafunktio voi olla epäjatkuva, ei ole aivan selvää. Tämän asian tutkimiseen tarvitaan Darboux-ominaisuuden tuntemusta. Darboux-ominaisuus kuvaa derivaattafunktion väliarvo-ominaisuutta. Sen todistuksessa on huolehdittava, ettei siinä missään vaiheessa käytetä oletusta funktion jatkuvuudesta, koska kaikki derivaattafunktiot eivät ole jatkuvia. Kun derivaattafunktiota sitten tutkitaan Darboux-ominaisuuden valossa, havaitaan, että jos derivaattafunktio on epäjatkuva, on se aina oleellisesti epäjatkuva. Työssä esitellään myös erilaisia esimerkkejä epäjatkuvista derivaatoista.

Tutkielmassa tarkastellaan myös derivoituvuuden ja integroituvuuden välistä yhteyttä, jota kuvaa Analyysin peruslause. Sen pohjalta tullaan tutkimaan derivaattafunktion integroituvuusominaisuutta. Sitä tarkastellaan kahden esimerkkitapauksen, Volterran ja Pompeiun funktion, avulla. Näissä tutkimuksissa havaitaan, että kaikki derivaattafunktiot, myös rajoitetut, eivät ole aina Riemann-integroituvia. Tämän havainnon osoittamiseksi on tutustuttava ensin Smith-Volterra-Cantor -joukkoihin ja niiden ominaisuuksiin sekä Lebesguen ehtoon Riemann-integroituvuudelle.

Näiden lisäksi tässä työssä tutkitaan vielä derivaattafunktion jatkuvuuspisteiden joukon kokoa. Sen perusteella voidaan tehdä päätelmiä siitä, onko derivaattafunktion määrittelyjoukossa enemmän jatkuvuus- vai epäjatkuvuuspisteitä sekä miten nämä joukot suhteutuvat toisiinsa. Derivaattafunktion jatkuvuuspisteiden joukon kokoon liittyvissä tutkimuksissa tarvitaan funktion heilahtelun sekä Bairen kategoria -lauseen tuntemusta. Näiden asioiden tuntemusta tarvitaan myös derivaattafunktion integroituvuusominaisuuden tutkimisessa. Lopputuloksena havaitaankin, että derivaattafunktion jatkuvuuspisteiden joukko on aina tiheä funktion määrittelyjoukossa.