Lineaariset toisen asteen hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Tekijät
Päivämäärä
2022Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tässä työssä tutkitaan toisen asteen lineaarisia hyperbolisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Toisen asteen lineaariset hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat luonnollinen yleistys aaltoyhtälölle $$u_{tt} + \Delta u = f$$, jossa $\Delta$ on Laplacen operaattori $\Delta u = \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}$. Aaltoyhtälö kuvaa nimensä mukaisesti aaltojen liikettä, ja siitä voidaan johtaa aaltojen ominaisuuksia. Hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt kuvaavat aaltojen liikettä kun ne ovat mahdollisesti huokoisessa tai muuten epätäydellisessä välittäjäaineessa.
Työn päätulokset ovat, että hyperbolisille yhtälöille on olemassa heikko ratkaisu (Lause 4.3), ja että heikko ratkaisu on yksikäsitteinen (Lause 4.4). Lisäksi käsitellään ratkaisuiden käyttäytymistä, etenkin sitä miten ongelman alkuarvot vaikuttavat ratkaisun arvoihin myöhemmällä ajanhetkellä $t_0$. Nähdään, että yhtälön ratkaisuiden alkudata etenee äärellisellä nopeudella, joka on hyvin erilainen käytös verrattuna hyvin samantapaisiin parabolisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Esimerkki parabolisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä on lämpöyhtälö. Parabolisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alkudata vaikuttaa koko funktion määrittelyjoukkoon välittömästi.
Lauseen 4.3 todistuksessa käytetään niin sanottua Galerkinin menetelmää. Lauseen 4.4 todistuksessa käytetään hyväksi tutkittavan yhtälön lineaarisuutta. Yhtälön lineaarisuuden nojalla riittää osoittaa, että jos alkudata on $0$, niin ainoa mahdollinen ratkaisu on identtisesti $0$.
Funktion ratkaisuiden käyttäytymisessä pidättäydytään yksinkertaisessa esimerkkitapauksessa. Oletetaan, että $u$ on sileä ratkaisu kyseiseen ongelmaan, ja osoitetaan, että jos $u$:n alkudata on identtisesti nollaa tietyssä alueessa, niin $u$ on edelleen nollaa myöhemmällä ajanhetkellä $t_0$. Tämä kertoo meille, että kyseisen alueen ulkopuolella oleva alkudata ei vaikuta $u$:n arvoihin jollain myöhemmällä ajanhetkellä $t$, eli ongelman alkudata etenee äärellisellä nopeudella.
Hyperbolisten yhtälöiden tutkiminen on tärkeää, koska ne esiintyvät monissa matemaattisissa ja fysikaalisissa ongelmissa. Aaltoyhtälöllä voidaan mallintaa monenlaisia aaltoja, kuten sähkömagneettisia aaltoja tai ääniaaltoja. Yleisemmillä hyperbolisilla yhtälöillä voidaan tutkia aaltoja jotka kulkevat monimutkaisessa väliaineessa, esimerkiksi veden eteneminen huokoisen kiven läpi.
Hyperbolisten yhtälöiden tutkimuksella on pitkä historia. Aaltoyhtälön tutkimus alkoi Jean d'Alembertista joka johti yksiulotteisen aaltoyhtälön ja ratkaisi sen vuonna 1752. Tästä kaksi- ja kolmiulotteisten aaltoyhtälöiden tapauksissa jatkotutkimusta ja yleistystä tekivät Euler (1759) ja D. Bernoulli (1762). Myöhemmin Riemann tutki hyperbolisia yhtälöitä 1850- ja 1860 luvuilla, ja hänen jälkensä viimeistelivät Pierre Henri Hugoniot ja William Rankine heidän shokkiaaltojen teoriallaan. Ennen 1920-lukua osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisut olivat niin sanottuina klassisia ratkaisuja, eli astetta $n$ olevan yhtälön ratkaisuiden haluttiin olevan ainakin $\mathcal{C}^n$-funktioita. 1920-luvun puolella ja sen jälkeen alettiin kehittää heikkojen ratkaisuiden teoriaa. Tämän lisäksi 1930-luvulla kehiteltyjen Sobolev-avaruuksien ansiosta heikkojen ratkaisuiden teoria kasvoi ja kehittyi, ja on nykytutkimuksessa tärkein osa-alue. Tarkempia historiakatsauksia hyperbolisiin ODYihin liittyen löytyy lähteistä [Gå98], [BB98]. Heikkojen ratkaisuiden teorian historiaa löytyy myös viitteestä [BB98].
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [29556]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Magnetic fractional Poincaré inequality in punctured domains
Bal, Kaushik; Mohanta, Kaushik; Roy, Prosenjit (Elsevier, 2024)We study Poincaré-Wirtinger type inequalities in the framework of magnetic fractional Sobolev spaces. In the local case, Lieb et al. (2003) [19] showed that, if a bounded domain Ω is the union of two disjoint sets Γ and ... -
On Limits at Infinity of Weighted Sobolev Functions
Eriksson-Bique, Sylvester; Koskela, Pekka; Nguyen, Khanh (Elsevier, 2022)We study necessary and sufficient conditions for a Muckenhoupt weight w∈Lloc1(Rd) that yield almost sure existence of radial, and vertical, limits at infinity for Sobolev functions u∈Wloc1,p(Rd,w) with a p-integrable ... -
Köydenvetopeli satunnaiskohinalla ja p-Laplacen yhtälö
Taipalus, Janne (2023)Tässä tutkielmassa tutustumme köydenvetopeliin satunnaiskohinalla. Kyseinen peli on kahden pelaajan stokastinen peli, jossa kukin pelaaja yrittää saavuttaa alueen reunan sellaisesta kohdasta, joka on hänelle edullinen. ... -
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Hentunen, Tuomas (2014) -
van der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelma
Kuisma, Miikka (2019)Tutkielmassa esitellään van der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelmaa, todistetaan ratkaisun olemassaolo, johdetaan ongelmaan liittyvät Euler-Lagrangen yhtälöt sekä löydetään minimointiongelmalle ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.