Funktionaalisia a posteriori virhearvioita Uzawan tyyppisille menetelmille kokoonpuristumattomien virtausten tapauksessa
Stokesin yhtälöllä voidaan kuvata nesteiden ja kaasujen liikettä, jos liike on yksiulotteista tai hidasta. Stokesin yhtälö on yksinkertaistettu ja linearisoitu versio Navier-Stokesin yhtälöistä. Tässä tutkielmassa keskitytään kokoonpuristumattomiin ja viskoottisiin nesteisiin ja kaasuihin. Kokoonpuristumattomuus tarkoittaa sitä, että nesteen tai kaasun tiheys ei muutu ajan suhteen. Viskoottisuus taas tarkoittaa sitä, että nesteillä ja kaasuilla on sisäistä kitkaa, joka muodostuu, kun aineen osaset liikkuvat toistensa suhteen.
Vaikka osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tutkimus on edennyt viime vuosisadalla hyvinkin nopeasti, on analyyttisen ratkaisun löytäminen vaikeaa tai lähes poikkeuksetta mahdotonta. Tapauksissa, joissa analyyttinen ratkaisu löydetään kohtuullisella vaivalla, on yleensä tehty epärealistisen suuria yksinkertaistuksia tai yhtälö on alkujaan keinotekoinen. Jotta epärealistisilta yksinkertaistuksilta voitaisiin välttyä, on osittaisdifferentiaaliyhtälöille kehitetty monia numeerisia ratkaisumenetelmiä, kuten esimerkiksi tässä tutkielmassa hyödynetty elementtimenetelmä. Numeeristen menetelmien käyttö tuottaa osittaisdifferentiaaliyhtälölle likimääräisen ratkaisun, joka hyvin harvoin vastaa tarkkaa ratkaisua. Likimääräiseen ratkaisuun sisältyy siis aina jonkunlainen virhe.
Funktionaalisilla a posteriori virhearvioilla voidaan arvioida luotettavasti sitä virhettä, joka tehdään ratkaistaessa osittaisdifferentiaaliyhtälöitä numeerisesti. Tässä tutkielmassa malliongelmana käytetään yleistettyä Stokesin yhtälöä. Tälle ongelmalle on jo aiemmin johdettu a posteriori virhearviot, tässä tutkielmassa johdetaan vastavat virhearviot ottaen huomioon Uzawa-algoritmin erityispiirteet. Uzawa-algoritmi on suosittu menetelmä likiarvoratkaisujen löytämiseen satulapisteongelmille. Lisäksi tarkastellaan Uzawa-algoritmin konvergenssia malliongelman tapauksessa.
Seuraavaksi tutkimme approksimaatiovirhettä, joka muodostuu, kun ääretönulotteinen ongelma korvataan äärellisulotteisella ongelmalla. Tämän myötä virheen ylärajaan (majorantiin) tulee vapaita parametreja, jotka tulee minimoida mahdollisimman tarkan ylärajan löytämiseksi. Numeerisessa osuudessa ratkaistaan malliongelma elementtimenetelmällä MINI-elementtiä hyödyntäen ja minimoidaan majorantin vapaat parametrit elementtimenetelmällä Raviart-Thomas-elementtejä hyödyntäen. Lopuksi vahvistetaan johdettujen majoranttien toimivuus numeerisilla testeillä. Numeerisia testejä varten on koottu molemmille elementtityypeille osittaisdifferentiaaliyhtälöratkaisijat.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [29148]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Fully reliable a posteriori error control for evolutionary problems
Matculevich, Svetlana (University of Jyväskylä, 2015) -
A posteriori error estimates for variational problems in the theory of viscous fluids
Nokka, Marjaana (University of Jyväskylä, 2016)The papers included in the thesis are focused on functional type a posteriori error estimates for the Stokes problem, the Stokes problem with friction type boundary conditions, the Oseen problem, and the anti-plane Bingham ... -
A posteriori error control for Maxwell and elliptic type problems
Anjam, Immanuel (University of Jyväskylä, 2014) -
A posteriori estimates for a coupled piezoelectric model
Langer, Ulrich; Repin, Sergey; Samrowski, Tatiana (Walter de Gruyter GmbH, 2017)The paper is concerned with a coupled problem describing piesoelectric effects in an elastic body. For this problem, we deduce majorants of the distance between the exact solution and any approximation in the respective ... -
On the a posteriori error analysis for linear Fokker-Planck models in convection-dominated diffusion problems
Matculevich, Svetlana; Wolfmayr, Monika (Elsevier, 2018)This work is aimed at the derivation of reliable and efficient a posteriori error estimates for convection-dominated diffusion problems motivated by a linear Fokker–Planck problem appearing in computational neuroscience. ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.