Chaotic decompositions of the Lévy-Itô space

Abstract

Tämän tutkielman aiheena ovat erilaiset kaoottiset hajotelmat Lévy prosessien funktionaaleille. Näillä hajotelmilla pyritään esittämään kyseiset funktionaalit iteroitujen integraalien summana tietyn, keskenään ortogonaalisten martingaalien joukon suhteen.

Ensimmäisenä käymme läpi hieman teoriaa, jonka pohjalle myöhemmin tutkielmassa esiintyvät hajotelmat pohjautuvat. Esittelemme joukon määritelmiä, jotka ovat tarpeen tässä tutkielmassa esiintyvän teorian ymmärtämiseksi. Näihin määritelmiin lukeutuu muun muassa Lévy processit, martingaalit ja stokastiset integraalit. Lisäksi esittelemme myöhemmissä todistuksissa tarvittavia epäyhtälöitä, lemmoja ja lauseita.

Kun olemme käsitelleet tarvittavat esitiedot, siirrymme kohti tutkielman keskeisintä lausetta. Tätä lausetta varten esittelemme niin kutsutut Teugelin martingaalit. Nämä martingaalit ovat käytännössä Lévy prosessin kompensoituja hyppyprosesseja. Näistä Teugelin martingaaleista muodostamme keskenään ortogonaalisen joukon, jota käytämme kaoottisen hajotelman määrittelemiseen. Tämä teoria ja kaoottinen hajotelma pohjautuvat David Nualartin ja Win Schoutensin artikkeliin Chaotic and predictable representations for Lévy processes. Käytämme tätä tutkielmamme keskeisimpänä lähteenä, jossa esiintyviä lauseita ja todistuksia tutkimme yksityiskohtaisemmin. Lisäksi esittelemme ja käsittelemme muita kirjallisuudessa esiintyviä kaoottisia hajotelmia.

Yksi näistä hajotelmista on Kyoshi Itôn ortogonaalinen hajotelma, jonka hän esitteli artikkelissaan Spectral Type of the Shift Transformation of Differential Processes With stationary increments. Tämä lause hyödyntää Wiener integraaleja Lévy prosessin avulla määritellyn kahdesti integroituvien satunnaismuuttujien avaruuden ortogonaalisen hajotelman määrittelyssä. Tämän hajotelman todistuksen käymme läpi ykityiskohtaisesti, jonka jälkeen hyödynnämme sitä toisen hajotelman todistamiseen.

Lopuksi esittelemme vielä hieman yleisempään tapaukseen soveltuvan hajotelman. Paolo Di Tellan ja Haus-Juergen Engelbertin, artikkelissa The Chaotic Representation of Compensated-Covariation Stable Families of Martingales, esittelemä hajotelma sopeutuu funktionaalejen esittämiseen iteroitujen Wiener integraalien avulla suhteessa ortogonaaliseen ja kompensoidun kovarianssin suhteen vakaiden martingaalien joukkoon.

In the present thesis, we will study the chaotic representation properties for functionals on Lévy processes. These chaotic representation properties are a way to represent square integrable random variables as a sum of iterated integrals with respect to a certain set of orthogonal martingales.

We will first go over the basic settings and some preliminary theory we need in order to understand Lévy processes, martingale theory, stochastic integrals and the chaotic representation properties following later in the thesis. These preliminaries include some inequalities, lemmas and theorems used in the proofs of this thesis as well as the basic definitions.

The main result of this thesis characterizes a chaotic representation property using a pairwise strongly orthogonal family of so-called Teugels martingales. These Teugels martingales are, in fact, the compensated power jump processes of a Lévy process. This theorem covering the chaotic representation property for Teugels martingales was explored by David Nualart and Wim Schoutens in their article Chaotic and predictable representations for Lévy processes. We use this article as our main source for this thesis and expand upon it by providing more details and exploring alternative versions of chaotic representation properties found in the literature.

One of the chaotic representation properties we examine and prove in detail after our main theorem is Itô's orthogonal decomposition introduced in Spectral Type of the Shift Transformation of Differential Processes With stationary increments by Kyoshi Itô. This theorem uses multiple Wiener integrals to define an orthogonal decomposition of the space of square integrable random variables. After the proof, we use this theorem to formulate another, different orthogonal decomposition.

Finally we conclude our thesis by going over a more general decomposition. This chaotic representation property uses iterated integrals with respect to a family of compensated-covariance stable martingales. This property has been covered by Paolo Di Tella and Hans-Juergen Engelbert in The Chaotic Representation of Compensated-Covariation Stable Families of Martingales.