Keskijoukot kartioleikkausten yleistyksinä

Abstract

Tämän tutkielman aiheena ovat keskijoukot. Tutkielman tarkoituksena on esitellä keskijoukkojen ominaisuuksia ja yleistää kartioleikkaukset keskijoukkojen avulla.

Keskijoukot ovat joukkoja, jotka ovat yhtä etäällä kahdesta annetusta epätyhjästä joukosta. Niitä joukkoja, joiden suhteen keskijoukko on määritelty, kutsutaan polttopistejoukoiksi.

Kartioleikkauksia ja niiden ominaisuuksia tarkastelemalla huomataan, että aidot kartioleikkaukset hyperbeli, ellipsi ja paraabeli voidaan määritellä kahden ympyrän keskijoukkoina. Monimutkaisemmilla polttopistejoukoilla muodostuvat keskijoukot muistuttavat edelleen kartioleikkauksia, niillä on samoja ominaisuuksia kartioleikkausten kanssa. Keskijoukot voidaan siten ajatella kartioleikkausten yleistyksinä.

Tutkielmassa tarkastellaan lisäksi keskijoukkojen heijastusominaisuuksia. Kartioleikkauksille tunnetaan erityisiä polttopisteisiin liittyviä heijastusominaisuuksia. Tasogeometriassa kartioleikkausten heijastusominaisuudet todistetaan tangenttisuorien ja polttopisteiden avulla. Tässä tutkielmassa nämä ominaisuudet esitetään kartioleikkauksille ilman tangenttisuorien yhtälöitä keskijoukkojen heijastusominaisuuksien avulla.