Toisen asteen imaginääristen lukukuntien perusalueet hyperbolisessa avaruudessa

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään toisen asteen imaginääristen lukukuntien luokkaluvun yhteyttä kunnan kokonaislukurenkaan virittämän hyperbolisen avaruuden isometrioiden ryhmän PSL2(OK) eli Bianchin ryhmän muodostamaan perusalueeseen. Tutkielma perustuu pääosin Jürgen Elstrodtin, Fritz Grunewaldin ja Jens Mennicken kirjaan Groups Acting on Hyperbolic Spaces; Harmonic Analysis and Number Theory kappaleeseen 7. [9] Tutkielma esittelee kappaleen sisällon todistaen sen tulokset lähdeteosta perusteellisemmin. Lisäksi tutkielmassa esitetään vaadittavat algebralliset ja geometriset esitiedot. Keskeisenä työkaluna tässä tutkielmassa käytetään ideaalien teoriaa. Tutkielmassa esitellään keskeisten määritelmien lisäksi merkittäviä algebrallisia tuloksia kuten Kiinalainen jäännöslause ja Minkowskin lause. Algebrallisia tuloksia ei välttämättä esitellä yleisimmässä mahdollisessa muodossa todistusten selkeyden vuoksi. Tutkielmassa esitellään lisäksi kolmiulotteisen hyperbolisen avaruuden määritelmä ja joitain sen geometrisiä ominaisuuksia. Keskeisenä määritelmänä on 2 × 2-matriisien erityinen lineaarinen ryhmä, jonka todetaan toimivan isometrioilla hyperbolisessa avaruudessa. Erityisen lineaarisen ryhmän aliryhmällä, jonka kertoimet ovat toisen asteen imaginäärisen lukukunnan kokonaislukuja, todistetaan olevan algebrallisesti merkittäviä ominaisuuksia. Tutkielman kaksi viimeistä kappaletta osoittavat yhteyden luokkaluvun ja Bianchin ryhmän hyperbolisen perusalueen välillä. Lukukunnan perusalueen konstruktio esitellään ensin ja tämän jälkeen joukon todistetaan olevan perusalue. Perusalueen konstruktiosta päätellään joitain joukon geometrisiä ominaisuuksia. Lopuksi esitellään ja visualisoidaan kuntien Q(i), Q( √ −3) ja Q√ −5 perusalueet sekä huomioidaan perusalueen ja kompleksitason leikkauspisteiden yhteys kunnan luokkalukuun.