Kvaterniot ja geometria

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään Hamiltonin kvaternioita sekä niiden yhteyttä säännöllisten monitahokkaiden symmetriaan. Tutkielman aluksi kerrataan muutamia jo tunnettuja määritelmiä ryhmistä, renkaista ja matriiseista. Lisäksi esitellään aliryhmäkriteeri ja alirengastesti, joiden avulla on helppo tutkia ryhmien ja renkaiden osajoukkojen ominaisuuksia. Tämän jälkeen tutkielmassa perehdytään hieman siihen, kuinka Sir William Rowan Hamilton päätyi löytämään kvaterniot etsiessään matemaattista mallinnusta kolmiulotteiselle maailmalle. Luvussa myös tarkastellaan kvaternioiden algebrallisia ominaisuuksia ja osoitetaan, että kvaterniot muodostavat vinon kunnan. Kolmannessa luvussa keskitytään kvaternioiden lineaarialgebrallisiin ominaisuuksiin, kuten sisätuloon ja normiin. Tästä päädytäänkin tulokseen, että kvaterniot vastaavat reaaliavaruutta R⁴ ja imaginaariset kvaterniot niiden osajoukkona puolestaan avaruutta R³. Luvun lopuksi osoitetaan eräs tutkielman tärkeimpiä tuloksia, että jokainen joukon Im H erityinen ortogonaalikuvaus voidaan esittää yksikkökvaternion ja sen käänteiskvaternion avulla kuvauksena Φ_a=aua^(-1). Lisäksi nämä kuvaukset vastaavat kiertoja ja ne kuvaavat yksikkökvaterniot ortogonaaliryhmäksi SO(3). Tutkielman lopuksi tutustutaan säännöllisten kolmiulotteisten monitahokkaiden symmetriaryhmiin. Tämän jälkeen tutkitaan, kuinka kuvaukset Φ kuvaavat binaarisia polyedri- eli monitahokasryhmiä. Tutkielman viimeisenä tuloksena osoitetaan, että kvaternioiden yksiköiden H^× kaikki äärelliset aliryhmät ovat äärelliset sykliset ryhmät, binaariset diedriryhmät sekä binaariset monitahokasryhmät.