Kvaterniot ja geometria
Tekijät
Päivämäärä
2023Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tässä tutkielmassa käsitellään Hamiltonin kvaternioita sekä niiden yhteyttä säännöllisten monitahokkaiden symmetriaan. Tutkielman aluksi kerrataan muutamia jo tunnettuja määritelmiä ryhmistä, renkaista ja matriiseista. Lisäksi esitellään aliryhmäkriteeri ja alirengastesti, joiden avulla on helppo tutkia ryhmien ja renkaiden osajoukkojen ominaisuuksia.
Tämän jälkeen tutkielmassa perehdytään hieman siihen, kuinka Sir William Rowan Hamilton päätyi löytämään kvaterniot etsiessään matemaattista mallinnusta kolmiulotteiselle maailmalle. Luvussa myös tarkastellaan kvaternioiden algebrallisia ominaisuuksia ja osoitetaan, että kvaterniot muodostavat vinon kunnan.
Kolmannessa luvussa keskitytään kvaternioiden lineaarialgebrallisiin ominaisuuksiin, kuten sisätuloon ja normiin. Tästä päädytäänkin tulokseen, että kvaterniot vastaavat reaaliavaruutta R4 ja imaginaariset kvaterniot niiden osajoukkona puolestaan avaruutta R3. Luvun lopuksi osoitetaan eräs tutkielman tärkeimpiä tuloksia, että jokainen joukon Im H erityinen ortogonaalikuvaus voidaan esittää yksikkökvaternion ja sen käänteiskvaternion avulla kuvauksena Φa=aua(-1). Lisäksi nämä kuvaukset vastaavat kiertoja ja ne kuvaavat yksikkökvaterniot ortogonaaliryhmäksi SO(3).
Tutkielman lopuksi tutustutaan säännöllisten kolmiulotteisten monitahokkaiden symmetriaryhmiin. Tämän jälkeen tutkitaan, kuinka kuvaukset Φ kuvaavat binaarisia polyedri- eli monitahokasryhmiä. Tutkielman viimeisenä tuloksena osoitetaan, että kvaternioiden yksiköiden H× kaikki äärelliset aliryhmät ovat äärelliset sykliset ryhmät, binaariset diedriryhmät sekä binaariset monitahokasryhmät.
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28164]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Eukleideen geometriaa
Joutsen, Elina (2018)Eukleides Aleksandrialainen oli kreikkalainen matemaatikko, joka loi noin 300 eaa. euklidisen geometrian. Hän julkaisi euklidisen geometrian perustana olevat aksioomat ja perusolettamukset teoksessaan Alkeet. Eukleideen ... -
Taksigeometria
Raatikainen, Jutta (2019)Tutkielma käsittelee taksigeometrian alkeita ja Hilbertin aksioomajärjestelmää. Lisäksi tutkielmassa tutustutaan toisen asteen käyriin ja isometrioihin taksigeometriassa. -
Projektiivinen geometria
Hyvönen, Jussi (2017)Tässä tutkielmassa käsittellään projektiivista geometriaa aksioomien ja mallien kautta. Tutkielma keskittyy pääasiassa äärellisiin projektiivisiin geometrioihin ja niistä erityisesti tasogeometriaan. Tutkielmassa luodaan ... -
Circular Forms in Aleksis Kivi’s Texts
Kukkonen, Tiina Katriina (Tessellations Publishing, 2016)In this paper, I identify and analyse regular geometric forms that appear in nineteenth-century Finnish author Aleksis Kivi’s texts. His characters and his narrators exemplify these forms to the reader. The characters’ ... -
Visuaalinen tangentti lukion pitkässä matematiikassa
Sauramäki, Arja (2017)Opinnäytetyössä selvitellään lukion pitkän matematiikan opiskelijoiden käsityksiä visuaalisesta tangenttisuorasta (lyh. tangentista). Työ sisältää tietokoosteen tutkielman aihepiirin visuaalisesta tangentista. Lukio-opiskelijoiden ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.