Kvaterniot ja niiden yhteys avaruuden rotaatioihin

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on näyttää, kuinka kolmiulotteisen reaaliavaruuden rotaatiot voidaan esittää kvaternioita käyttäen. Kvaterniot mielletään kompleksilukujen joukon laajennukseksi, mistä syystä tutkielman aluksi tarkastellaan kompleksilukujen joukkoa ja kompleksilukujen yhteyttä tason kiertoihin. Kun yhteys kompleksilukujen ja tason kiertojen välillä on osoitettu, on luontevaa siirtyä tarkastelemaan vastaavaa yhteyttä kvaternioiden ja avaruuden rotaatioiden välillä. Kvaternioiden joukossa on kompleksilukujen joukosta tutun imaginaariyksikön i lisäksi kaksi muuta imaginaarista yksikköä, j ja k. Kvaterniot ovat muotoa q = a1 + bi + cj + dk, missä luvut a, b, c ja d ovat reaalilukuja. Edelleen kvaternioiden osajoukkoja ovat puhtaiden kvaternioiden joukko Im(ℍ) = {bi + cj + dk : b, c, d ∈ ℝ} sekä reaalikvaternioiden joukko Re(ℍ) = {a1: a ∈ ℝ}. Erityisen kiinnostuneita tässä tutkielmassa ollaan puhtaiden kvaternioiden konjugointikuvauksesta, sillä puhtaiden kvaternioiden konjugointi vastaa kolmiulotteisen reaaliavaruuden rotaatioita. Kvaternioita käytetään avaruuden rotaatioiden tarkastelussa, koska monimutkaisten kiertojen tarkastelu helpottuu huomattavasti kvaternioiden konjugointikuvauksen avulla. Avaruuden kierron määrittämiseksi konjugointikuvauksen avulla riittää, että tiedetään rotaation kiertoakseli u sekä kiertokulma θ, sillä kiertokulman ja -akselin avulla saadaan selville kvaterniokonjugoinnin määräävä kvaternio t.