Kvaterniot ja niiden yhteys avaruuden rotaatioihin
Authors
Date
2019Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tämän tutkielman tarkoituksena on näyttää, kuinka kolmiulotteisen reaaliavaruuden rotaatiot voidaan esittää kvaternioita käyttäen. Kvaterniot mielletään kompleksilukujen joukon laajennukseksi, mistä syystä tutkielman aluksi tarkastellaan kompleksilukujen joukkoa ja kompleksilukujen yhteyttä tason kiertoihin. Kun yhteys kompleksilukujen ja tason kiertojen välillä on osoitettu, on luontevaa siirtyä tarkastelemaan vastaavaa yhteyttä kvaternioiden ja avaruuden rotaatioiden välillä. Kvaternioiden joukossa on kompleksilukujen joukosta tutun imaginaariyksikön i lisäksi kaksi muuta imaginaarista yksikköä, j ja k. Kvaterniot ovat muotoa q = a1 + bi + cj + dk, missä luvut a, b, c ja d ovat reaalilukuja. Edelleen kvaternioiden osajoukkoja ovat puhtaiden kvaternioiden joukko Im(ℍ) = {bi + cj + dk : b, c, d ∈ ℝ} sekä reaalikvaternioiden joukko Re(ℍ) = {a1: a ∈ ℝ}. Erityisen kiinnostuneita tässä tutkielmassa ollaan puhtaiden kvaternioiden konjugointikuvauksesta, sillä puhtaiden kvaternioiden konjugointi vastaa kolmiulotteisen reaaliavaruuden rotaatioita. Kvaternioita käytetään avaruuden rotaatioiden tarkastelussa, koska monimutkaisten kiertojen tarkastelu helpottuu huomattavasti kvaternioiden konjugointikuvauksen avulla. Avaruuden kierron määrittämiseksi konjugointikuvauksen avulla riittää, että tiedetään rotaation kiertoakseli u sekä kiertokulma θ, sillä kiertokulman ja -akselin avulla saadaan selville kvaterniokonjugoinnin määräävä kvaternio t.
...


Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [23424]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Konformikuvauksia
Kantinkoski, Sanja (2021)Tämän tutkielman tarkoituksena on käsitellä konformikuvauksia ja konformisia automorfismeja. Tutkielmassa esitellään erilaisia kuvausongelmia niin kompleksitasossa kuin Riemannin pallollakin. Konformisuus määritellään ... -
Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia
Jäntti, Pasi (2019)Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka ... -
Kompleksiluvut ja kvaterniot kiertoina
Polvinen, Heikki (2012) -
Polynomiyhtälön ratkaiseminen
Auvinen, Anna-Mari (2018)Tämän tutkielman tarkoituksena on näyttää, kuinka eri asteisia polynomiyhtälöitä ratkaistaan. Todistetaan toisen ja kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat. -
Tason isometriat ja similariteetit kompleksiluvuilla
Takkinen, Mikko (2018)Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella isometrioita ja similariteettejä tasossa kompleksilukujen avulla. Tässä kirjoitelmassa tarvitaan kompleksilukujen ominaisuuksista ainakin kompleksiluvun käänteisluku ja ...