Additive properties of fractal sets on the parabola
Orponen, T. (2023). Additive properties of fractal sets on the parabola. Annales Fennici mathematici, 48(1), 113-139. https://doi.org/10.54330/afm.125826
Published in
Annales Fennici mathematiciAuthors
Date
2023Copyright
© 2022 Annales Fennici Mathematici
Olkoon 0 ≤ s ≤ 1 ja P := {(t,t2) ∈ R2:t ∈ [−1,1]}. Jos K ⊂ P on suljettu ja dimHK = s, on suoraviivaista nähdä, että dimH(K + K) ≥ 2s. Paperin pääkorollaari kertoo, että jos 0 < s < 1, joukon K lisääminen vielä kerran kasvattaa summaa: dimH(K + K + K) ≥ 2s + ϵ, missä ϵ = ϵ(s) > 0. Väite päätellään seuraavasta L6-arviosta Frostman-mittojen Fourier-muunnoksille. Olkoon 0 < s <1 , ja olkoon μ on Borel-mitta joukossa P, joka toteuttaa ehdon μ(B(x,r)) ≤ rs kaikille x ∈ P ja r > 0. Silloin on olemassa ϵ = ϵ(s) > 0 ja R0 ≥ 1, joille seurava epäyhtälö pätee kaikille ‖μ^‖L6(B(R))6 ≤ R2−(2s+ϵ). Todistuksen keskeinen idea on muotoilla ongelma uudelleen sopivana δ-diskretoituna pisteiden ja ympyröiden välisenä insidenssiongelmana. Tämä geometrinen pulma palautuu lopulta (s, 2s)-Furstenberg-joukko-ongelmaan. Let 0 ≤ s ≤ 1, and let P := {(t,t2) ∈ R2:t ∈ [−1,1]}. If K ⊂ P is a closed set with dimHK = s, it is not hard to see that dimH(K + K) ≥ 2s. The main corollary of the paper states that if 0 0. This information is deduced from an L6 bound for the Fourier transforms of Frostman measures on P. If 0 < 1, and μ is a Borel measure on P satisfying μ(B(x,r)) ≤ rs for all x ∈ P and r > 0, then there exists ϵ = ϵ(s) > 0 such that ‖μ^‖L6(B(R))6 ≤ R2−(2s+ϵ) for all sufficiently large R ≥ 1. The proof is based on a reduction to a δ-discretised point-circle incidence problem, and eventually to the (s, 2s)-Furstenberg set problem.1, then adding K once more makes the sum slightly larger: dimH(K + K + K) ≥ 2s+ϵ, where ϵ = ϵ(s) > 0. This information is deduced from an L6 bound for the Fourier transforms of Frostman measures on P. If 0 < 1, and μ is a Borel measure on P satisfying μ(B(x,r)) ≤ rs for all x ∈ P and r > 0, then there exists ϵ = ϵ(s) > 0 such that ‖μ^‖L6(B(R))6 ≤ R2−(2s+ϵ) for all sufficiently large R ≥ 1. The proof is based on a reduction to a δ-discretised point-circle incidence problem, and eventually to the (s, 2s)-Furstenberg set problem.
...
![showless](/themes/JYX2//images/showless.png)
![showmore](/themes/JYX2//images/showmore.png)
Publisher
Finnish Mathematical SocietyISSN Search the Publication Forum
2737-0690Publication in research information system
https://converis.jyu.fi/converis/portal/detail/Publication/164896905
Metadata
Show full item recordCollections
License
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Torus Computed Tomography
Ilmavirta, Joonas; Koskela, Olli; Railo, Jesse (Society for Industrial and Applied Mathematics, 2020)We present a new computed tomography (CT) method for inverting the Radon transform in 2 dimensions. The idea relies on the geometry of the flat torus; hence we call the new method Torus CT. We prove new inversion formulas ... -
A fast Fourier transform based direct solver for the Helmholtz problem
Toivanen, Jari; Wolfmayr, Monika (John Wiley & Sons, 2020)This article is devoted to the efficient numerical solution of the Helmholtz equation in a two‐ or three‐dimensional (2D or 3D) rectangular domain with an absorbing boundary condition (ABC). The Helmholtz problem is ... -
Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta
Vähämäki, Susanna (2015) -
Diskreetti Fourier-muunnos DFT sekä nopea Fourier-muunnos FFT
Sivil, Ville (2024)Tässä tutkielmassa käsitellään Diskreettiä Fourier-muunnosta sekä Nopeaa Fourier-muunnosta, joka on tehokkaampi algoritmi diskreettejä Fourier-muunnoksia varten. Diskreettiä Fourier-muunnosta varten käsitellään lisäksi tarvittavat ... -
Fourier'n sarjan suppeneminen
Annala, Leevi (2017)Funktion f Fourier'n sarja on ääretön funktiosarja, jossa summataan funktiosta f ja summausindeksistä n riippuvia Fourier'n kertoimia funktiolla e^{inx} kerrottuna. Fourier'n sarjoja käytetään esimerkiksi osittaisdiffere ...