Fourier'n sarjan suppeneminen
Funktion f Fourier'n sarja on ääretön funktiosarja, jossa summataan funktiosta f ja summausindeksistä n riippuvia Fourier'n kertoimia funktiolla e^{inx} kerrottuna. Fourier'n sarjoja käytetään esimerkiksi osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen.
Tässä tutkielmassa käsitellään Fourier'n sarjan suppenemista. Kun Fourier'n sarja keksittiin, pitkään luultiin, että jatkuvan funktion Fourier'n sarja suppenee aina. Tässä työssä osoitetaan, että näin ei ole.
Ensin työssä osoitetaan, että jatkuvan funktion Fourier'n sarja "melkein suppenee," eli on Abel- ja Cesàro-summautuva. Abel-summautuvuudessa sarjan summattavat kerrotaan luvulla r^n, missä luku r on itseisarvoltaan pienempi kuin 1 ja n kertoo monesko summattava on kyseessä, ja tutkitaan suppeneeko näin saatu sarja ääretön sarja, jonka summattavana on r^n a_n. Cesàro-summautuvuudessa puolestaan lasketaan osasummien keskiarvoja, ja tutkitaan suppeneeko osasummien keskiarvojen jono.
Lisäksi todistetaan, että kun funktio on rajoitetusti heilahteleva, niin sen Fourier'n sarja suppenee niissä pisteissä, missä funktio on jatkuva. Tämä tarkoittaa samalla sitä, että kun funktio on paloittain C^1-funktio, Lipschitz-jatkuva tai absoluuttisesti jatkuva, niin funktion Fourier'n sarja suppenee.
Viimeisenä työssä esitellään jatkuva funktio, jonka Fourier'n sarja hajaantuu. Funktion konstruoinnissa käytetään menetelmää, jossa kansanomaisesti sanottuna pienet ongelmat kasaantuvat ja tuottavat massiivisia ongelmia.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28039]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Torus Computed Tomography
Ilmavirta, Joonas; Koskela, Olli; Railo, Jesse (Society for Industrial and Applied Mathematics, 2020)We present a new computed tomography (CT) method for inverting the Radon transform in 2 dimensions. The idea relies on the geometry of the flat torus; hence we call the new method Torus CT. We prove new inversion formulas ... -
Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta
Vähämäki, Susanna (2015) -
A fast Fourier transform based direct solver for the Helmholtz problem
Toivanen, Jari; Wolfmayr, Monika (John Wiley & Sons, 2020)This article is devoted to the efficient numerical solution of the Helmholtz equation in a two‐ or three‐dimensional (2D or 3D) rectangular domain with an absorbing boundary condition (ABC). The Helmholtz problem is ... -
Fourier-menetelmistä ja tietotekniikan DI-koulutuksen matematiikan opinnoista
Röppänen, Samuli (2022)Tutkielma motivaationa oli tarkastella DI-koulutuksen matemaattista opintosuunnitelmaa. Tarkemmaksi esimerkkikoulutukseksi valikoitu tietotekniikan DI-koulutuksen kandidaattivaihe. Kyseisen koulutuksen matemaattisten ... -
Norm-inflation results for purely BBM-type Boussinesq systems
Bautista, George J.; Potenciano-Machado, Leyter (Elsevier, 2022)This article is concerned with the norm-inflation phenomena associated with a periodic initial-value abcd-Benjamin-Bona-Mahony type Boussinesq system. We show that the initial-value problem is ill-posed in the periodic ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.