Polynomikasvuiset kokonaiset funktiot

Abstract

Tässä matematiikan pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan kompleksianalyysin keinoin polynomikasvuisia kokonaisia funktioita. Polynomikasvuisuus voidaan muotoilla tarkastelemalla funktion f modulia eli itseisarvoa. Jos funktion f modulia voidaan arvioida ylhäältä |f (z)| ≤ C|z|^n, missä C < ∞ kaikilla |z| ≥ 1, niin tällöin polynomi C|z|^n rajoittaa funktion f modulia, joten funktio f on välttämättä enintään n-asteinen polynomi. Funktion f sanotaan olevan kokonainen, jos se on analyyttinen koko kompleksitasossa. Funktion f analyyttisyys voidaan käsittää suppenavana potenssisarjana, jossa ei ole negatiivisia potensseja, avoimessa kiekossa B(z0; r) pisteen z_0 suhteen. Kokonaisen analyyttisen funktion f potenssisarjan suppenemissäde on ääretön. Tutkielman viisikohtainen päälause pohjautuu algebran peruslauseeseen, josta jokainen päälauseen todistettava kohta on johdettavissa. Päälauseen todistuksissa näytetään ensin, että kokonainen analyyttinen funktio f on polynomi, minkä jälkeen muut todistettavat ominaisuudet johdetaan. Algebran peruslause antaa keinon mää rittää n-asteisen polynomin nollakohtien lukumäärän, joka saadaan suoraan polynomin asteluvusta. Tämä yksinkertaiselta kuulostava polynomien ominaisuus tuotti entisaikojen matemaatikoille harmaita hiuksia, kunnes Carl Friedrich Gauss todisti algebran peruslauseen väitöskirjassaan vuonna 1799. Nykyään todistuksia algebran peruslauseelle on useita. Eräs erittäin lyhyt todistus pohjautuu Liouvillen lauseeseen, joka on tämän tutkielman päälauseen erään kohdan erikoistapaus. Päälauseen todistuksissa usein tarkastellaan muunnosta g(z) = f (1/z), joka antaa keinon tarkastella muunnoksen g napoja. Napa voidaan määritellä analyyttisen funktion potenssisarjan avulla. Navan määritelmän mukaan potenssisarjassa on äärellinen määrä negatiivisia potensseja. Jos pystytän näyttämään, että muunnoksella g on napa, niin tällöin funktio f on polynomi. Tutkielman päälause siis antaa erilaisia karakterisaatioita polynomeille.