Vektoriavaruudet ja niiden representaatiot

Abstract

Tässä työssä tutkitaan erilaisia representaatioita vektoriavaruuksille sekä Hilbertin avaruuden rakennetta. Hilbertin avaruudet ovat täydellisiä sisätuloavaruuksia, jotka ovat yleistys euklidiselle avaruudelle. Tavoitteena on näyttää, että ääretönulotteiselle Hilbertin avaruudelle löydetään aina ortogonaalinen kanta. Lisäksi tarkastellaan miten tämä eroaa Hamelin kannasta, joka on lineaarialgebrallinen kanta avaruudelle. Tämä työ koostuu neljästä osasta, joista ensimmäinen on pedagoginen katsaus vektoriavaruuksiin. Toisessa käydään läpi metrisiä avaruuksia koskevat esitiedot, kolmannessa rakennetaan abstraktien vektoriavaruuksien teoriaa ja tutustutaan jonoavaruuksiin sekä viimeisessä osassa tutkitaan Banachin ja Hilbertin avaruuksia.

Vektoreiden oppimisessa ja opettamisessa on monenlaisia haasteita, jotka ovat peräisin representaation hyödyntämisen puutteista. Representaatiossa saatetaan painottua liikaa esimerkiksi geometrisiin malleihin, jotka saattavat aiheuttaa hämmennystä milloin tarkastellaan yleistä tai spesifiä tapausta. Toisaalta ilman visualisointia siirtymä algebralliseen representaatioon voi olla liian haastavaa. Oppilaiden konseptikuvan muodostuminen vektoreista riippuu myös siitä, minkälaisina objekteina opettaja käsittelee vektoreita ja miten niitä tarkastellaan oppimateriaalissa. Lukion oppimateriaali antaa hyvin geometrisen katsauksen vektoreihin, mutta yliopistossa niitä käsitellään huomattavasti abstraktimmin. Aineenopettajalla on syytä olla vahva ymmärrys abstraktista vektoriavaruudesta, jotta osaa kehittää pedagogisia ratkaisuja joilla antaa selkeän ja rikastetun kuvan vektoreista.

Vektoriavaruudella on aina olemassa kanta, mutta tämän kannan löytäminen ei ole aina helppoa. Kanta on tärkeä vektoriavaruuden rakenteen kannalta, koska voimme esittää minkä tahansa avaruuden vektorin lineaarikombinaationa kannan vektoreista. Tämän vuoksi on tärkeää perehtyä täydellisiin sisätuloavaruuksiin, joissa löydämme aina ortonormaalin Hilbertin kannan. Ortonormaalilla kannalla on paljon käyttöä matematiikkaa soveltavilla aloilla.