Lumihiutaleupotukset
Authors
Date
2022Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä pro gradu -tutkielmassa tutustutaan lumihiutaleupotuksiin. Päätuloksena todistetaan Assouadin upotuslause, mikä osoittaa lumihiutaleupotusten olemassaolon. Esimerkkinä lumihiutaleupotuksesta käsitellään von Kochin lumihiutaletta.
Tutkielman alussa määritellään keskeiset käsitteet, joita ovat muun muassa metriset avaruudet, bi-Lipschitz-kuvaus, täydellisyys sekä kompaktius. Lisäksi todistetaan
tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin tutkielman muiden lemmojen ja lauseiden todistuksissa.
Toisessa luvussa määritellään ensin metrisen avaruuden tuplaavuus, lumihiutalemetriikka ja metrisen avaruuden lumihiutaleversio. Lisäksi osoitetaan lumihiutaleversion olevan metrinen avaruus. Tämän jälkeen todistetaan Assouadin upotuslause:
Olkoon (X, d) tuplaava metrinen avaruus. Tällöin sen jokainen lumihiutaleversio
(X, d^α) voidaan bi-Lipschitz upottaa johonkin Euklidiseen avaruuteen R^N .
Tutkielman kolmannessa luvussa käsitellään von Kochin lumihiutalekäyrää. Jotta
käyrä voidaan antaa iteroidun funktiojärjestelmän kiintopisteenä, määritellään ensin kutistavat kuvaukset ja todistetaan Banachin kiintopistelause. Lisäksi määritellään Hausdorff-etäisyys kompakteille epätyhjille joukoille ja keskeisenä tuloksena osoitetaan, että jokaisella iteroidulla funktiojärjestelmällä on olemassa yksikäsitteinen kiintopiste. Lopuksi osoitetaan, että von Kochin lumihiutalekäyrä on välin [0, 1] lumihiutaleupotus.
...


Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [25543]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
On the quasi-isometric and bi-Lipschitz classification of 3D Riemannian Lie groups
Fässler, Katrin; Le Donne, Enrico (Springer, 2021)This note is concerned with the geometric classification of connected Lie groups of dimension three or less, endowed with left-invariant Riemannian metrics. On the one hand, assembling results from the literature, we give ... -
Ahlfors-regular distances on the Heisenberg group without biLipschitz pieces
Le Donne, Enrico; Li, Sean; Rajala, Tapio (Oxford University Press; London Mathematical Society, 2017)We show that the Heisenberg group is not minimal in looking down. This answers Problem 11.15 in Fractured fractals and broken dreams by David and Semmes, or equivalently, Question 22 and hence also Question 24 in ... -
Nilpotent Groups and Bi-Lipschitz Embeddings Into L1
Eriksson-Bique, Sylvester; Gartland, Chris; Le Donne, Enrico; Naples, Lisa; Nicolussi Golo, Sebastiano (Oxford University Press (OUP), 2023)We prove that if a simply connected nilpotent Lie group quasi-isometrically embeds into an L1 space, then it is abelian. We reach this conclusion by proving that every Carnot group that bi-Lipschitz embeds into L1 is ... -
Bi-Lipschitz invariance of planar BV- and W1,1-extension domains
García-Bravo, Miguel; Rajala, Tapio; Zhu, Zheng (American Mathematical Society (AMS), 2022) -
Lectures on Lipschitz analysis
Heinonen, Juha (University of Jyväskylä, 2005)