Two examples related to conical energies

Abstract

Viimeaikaisessa työssä (2021) esittelimme ja tutkimme uusia kartioenergioita, ja käytimme niitä kolmen tuloksen todistamiseen: antamaan riittävät ja välttämättömät ehdot toisaalta suoristuville mitoille ja toisaalta Lipschitzin kuvaajien suuria osia sisältäville joukoille sekä antamaan riittävän ehdon siistien singulaaristen integraalioperaattoreiden rajoittuneisuudelle. Tässä tutkimuksessa esitämme kaksi näiden tulosten tarkkuuteen liittyvää esimerkkiä. Yksi näistä on peräisin Joycelta ja Mörtersiltä (2000), mutta toinen on uusi ja kenties sellaisenaan mielenkiintoinen esimerkkinä suhteellisen rumasta joukosta, joka kuitenkin sisältää Lipschitzin kuvaajien suuria osia.

In a recent article (2021) we introduced and studied conical energies. We used them to prove three results: a characterization of rectifiable measures, a characterization of sets with big pieces of Lipschitz graphs, and a sufficient condition for boundedness of nice singular integral operators. In this note we give two examples related to sharpness of these results. One of them is due to Joyce and Mörters (2000), the other is new and could be of independent interest as an example of a relatively ugly set containing big pieces of Lipschitz graphs.