About mean-variance hedging with basis risk

Abstract

Tässä tutkielmassa perehdytään odotusarvo-varianssi -suojausongelmaan (engl. mean-variance hedging problem) epätäydellisillä sijoitusmarkkinoilla. Päälähteenä seuraamme X. Xuen, J. Zhanging ja C. Wengin artikkelia Mean-variance Hedging with Basis risk. Oletamme aikavälin [0; T] jollekin T > 0, arbitraasivapaan sijoitusmarkkinan, yhden riskittömän sijoituskohteen ja (m+ 1) riskillistä sijoituskohdetta. Näiden kohteiden arvon oletetaan noudattavan stokastisia differentiaaliyhtälöitä, joissa kertoimet ovat deterministisiä ja Borel-mitallisia. Yksi näistä riskillisistä sijoituskohteista oletetaan liittyvän vaateeseen, jolle haluamme rakentaa suojaussalkun. Tätä kyseistä sijoituskohdetta ei voida käyttää suojaussalkun rakentamisessa, mikä aiheuttaa sijoitusmarkkinan epätäydellisyyden. Tämän vuoksi myös täydellisen suojaussalkun rakentaminen ei ole mahdollista. Määrittelemme voittoa/tappiota kuvaavan satunnaismuuttujan käyttämällä suojaussalkun arvon ja vaateen erotusta. Odotusarvo-varianssi -kriteeriä käytetään tähän satunnaismuuttujaan ja tämän johdosta ratkaisu on suojaussalkku, joka maksimoi erotuksen voittoa/tappiota kuvaavan satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin välillä. Ratkaisun löytämiseksi aloitamme kertaamalla tärkeitä ja tarpeellisia tuloksia todennäköisyysteoriasta ja stokastisesta analyysistä. Tämän jälkeen esittelemme lyhyesti moninkertaiset stokastiset integraalit ja niiden ominaisuuksia sekä käytämme näitä Malliavin derivaatan määrittelyyn. Odotusarvo-varianssi -ongelman ratkaisun löytämiseksi käytämme "Linear-Quadratic" -teoriaa. Oletamme apuongelman ja osoitamme, että ratkaisemalla apuongelman on mahdollista ratkaista myös alkuperäinen ongelma. Käyttämämme "Linear-Quadratic" -teoria on yhteydessä takaperoisiin stokastisiin differentiaaliyhtälöihin ja tutkielmassa näemme näiden yhteyden Malliavin derivaattaan. Johdamme myös eksplisiittiset ratkaisut suoran sopimuksen ja Eurooppalaisen myynti- ja osto-option Malliavin derivaatalle. Tässä tutkielmassa vaateen oletetaan olevan Malliavin derivoituva ja tämä mahdollistaa eksplisiittisen ratkaisun löytämisen. Pääteoreemana muotoilemme eksplisiittisen suojaussalkun, joka ratkaisee odotusarvo-varianssi -ongelman tilanteessa, jossa sijoitusmarkkina on epätäydellinen.

In this thesis we introduce a mean-variance hedging problem in an incomplete market. As a main source we follow X. Xue, J. Zhang and C. Weng article Mean- variance Hedging with Basis Risk. We assume a time interval [0; T] for some T > 0, an arbitrage free nancial market, and consider one risk-free asset and (m + 1) risky assets. The dynamics of the assets are given by stochastic differential equations with deterministic and Borel-measurable coefficients. One risky asset is connected to the pay-off function which we want to hedge. We assume that this connected asset can not be used in hedging and this makes the market incomplete. Because of incompleteness perfect hedging is not possible. We de fine a profi t-and-loss random variable by using the difference between the value of the hedging portfolio and the pay-off function. A mean-variance criterion is used to this random variable and by that the solution is a hedging strategy which maximizes the difference between the expected value and variance of the profi t-and-loss random variable. To fi nd a solution we start by recalling some important results from probability theory and stochastic analysis. We introduce shortly multiple stochastic integrals and properties of them. These integrals are used to de fine the Malliavin derivative. The mean-variance hedging problem is solved by using Linear-Quadratic theory. We consider an auxiliary problem and show that by solving the auxiliary problem we are able to solve the original problem. The solving method with Linear-Quadratic theory is connected to the backward stochastic differential equations (BSDE) and in the thesis we see also the connection of the BSDEs to the Malliavin derivative. We compute an explicit formula for the Malliavin derivative of a forward contract and an European put and call option. The pay-off function in this thesis is assumed to be Malliavin differentiable and hence we are able to give an explicit solution for the problem. As a main theorem we formulate an explicit hedging strategy which solves the mean-variance hedging problem in the incomplete market.