About mean-variance hedging with basis risk
Authors
Date
2021Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä tutkielmassa perehdytään odotusarvo-varianssi -suojausongelmaan (engl.
mean-variance hedging problem) epätäydellisillä sijoitusmarkkinoilla. Päälähteenä seuraamme
X. Xuen, J. Zhanging ja C. Wengin artikkelia Mean-variance Hedging with
Basis risk. Oletamme aikavälin [0; T] jollekin T > 0, arbitraasivapaan sijoitusmarkkinan,
yhden riskittömän sijoituskohteen ja (m+ 1) riskillistä sijoituskohdetta. Näiden
kohteiden arvon oletetaan noudattavan stokastisia differentiaaliyhtälöitä, joissa kertoimet
ovat deterministisiä ja Borel-mitallisia. Yksi näistä riskillisistä sijoituskohteista
oletetaan liittyvän vaateeseen, jolle haluamme rakentaa suojaussalkun. Tätä kyseistä sijoituskohdetta ei voida käyttää suojaussalkun rakentamisessa, mikä aiheuttaa
sijoitusmarkkinan epätäydellisyyden. Tämän vuoksi myös täydellisen suojaussalkun
rakentaminen ei ole mahdollista.
Määrittelemme voittoa/tappiota kuvaavan satunnaismuuttujan käyttämällä suojaussalkun
arvon ja vaateen erotusta. Odotusarvo-varianssi -kriteeriä käytetään tähän
satunnaismuuttujaan ja tämän johdosta ratkaisu on suojaussalkku, joka maksimoi
erotuksen voittoa/tappiota kuvaavan satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin
välillä.
Ratkaisun löytämiseksi aloitamme kertaamalla tärkeitä ja tarpeellisia tuloksia todennäköisyysteoriasta ja stokastisesta analyysistä. Tämän jälkeen esittelemme lyhyesti
moninkertaiset stokastiset integraalit ja niiden ominaisuuksia sekä käytämme näitä Malliavin derivaatan määrittelyyn. Odotusarvo-varianssi -ongelman ratkaisun löytämiseksi käytämme "Linear-Quadratic" -teoriaa. Oletamme apuongelman ja osoitamme,
että ratkaisemalla apuongelman on mahdollista ratkaista myös alkuperäinen
ongelma. Käyttämämme "Linear-Quadratic" -teoria on yhteydessä takaperoisiin stokastisiin
differentiaaliyhtälöihin ja tutkielmassa näemme näiden yhteyden Malliavin
derivaattaan. Johdamme myös eksplisiittiset ratkaisut suoran sopimuksen ja Eurooppalaisen
myynti- ja osto-option Malliavin derivaatalle.
Tässä tutkielmassa vaateen oletetaan olevan Malliavin derivoituva ja tämä mahdollistaa
eksplisiittisen ratkaisun löytämisen. Pääteoreemana muotoilemme eksplisiittisen
suojaussalkun, joka ratkaisee odotusarvo-varianssi -ongelman tilanteessa, jossa
sijoitusmarkkina on epätäydellinen.
...
In this thesis we introduce a mean-variance hedging problem in an incomplete
market. As a main source we follow X. Xue, J. Zhang and C. Weng article Mean-
variance Hedging with Basis Risk. We assume a time interval [0; T] for some T > 0,
an arbitrage free nancial market, and consider one risk-free asset and (m + 1) risky
assets. The dynamics of the assets are given by stochastic differential equations with
deterministic and Borel-measurable coefficients. One risky asset is connected to the
pay-off function which we want to hedge. We assume that this connected asset can not
be used in hedging and this makes the market incomplete. Because of incompleteness
perfect hedging is not possible.
We de fine a profi t-and-loss random variable by using the difference between the
value of the hedging portfolio and the pay-off function. A mean-variance criterion is
used to this random variable and by that the solution is a hedging strategy which
maximizes the difference between the expected value and variance of the profi t-and-loss
random variable.
To fi nd a solution we start by recalling some important results from probability
theory and stochastic analysis. We introduce shortly multiple stochastic integrals
and properties of them. These integrals are used to de fine the Malliavin derivative.
The mean-variance hedging problem is solved by using Linear-Quadratic theory. We
consider an auxiliary problem and show that by solving the auxiliary problem we
are able to solve the original problem. The solving method with Linear-Quadratic
theory is connected to the backward stochastic differential equations (BSDE) and in
the thesis we see also the connection of the BSDEs to the Malliavin derivative. We
compute an explicit formula for the Malliavin derivative of a forward contract and an
European put and call option.
The pay-off function in this thesis is assumed to be Malliavin differentiable and
hence we are able to give an explicit solution for the problem. As a main theorem
we formulate an explicit hedging strategy which solves the mean-variance hedging
problem in the incomplete market.
...
![showless](/themes/JYX2//images/showless.png)
![showmore](/themes/JYX2//images/showmore.png)
![showless](/themes/JYX2//images/showless.png)
![showmore](/themes/JYX2//images/showmore.png)
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29041]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Markov chain backward stochastic differential equations in modeling insurance policy
Hänninen, Henri (2022)Tässä tutkielmassa tarkastelemme henkivakuutuksen varantoa. Mallinnamme henkivakuutusta Markovin prosessin avulla, ja varannon määrittelyyn ja mallintamiseen käytämme Markovin ketju BSDE:itä (Markovin ketju takaperoinen ... -
On the uniqueness of a solution and stability of McKean-Vlasov stochastic differential equations
Nykänen, Jani (2020)Tässä tutkielmassa tutustutaan McKeanin-Vlasovin stokastisiin differentiaaliyhtälöihin, jotka yleistävät tavalliset stokastiset differentiaaliyhtälöt lisäämällä kerroinfunktioihin riippuvuuden tuntemattoman prosessin ... -
L2-variation of Lévy driven BSDEs with non-smooth terminal conditions
Geiss, Christel; Steinicke, Alexander (International Statistical Institute; Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability, 2016)We consider the L2-regularity of solutions to backward stochastic differential equations (BSDEs) with Lipschitz generators driven by a Brownian motion and a Poisson random measure associated with a Lévy process (Xt)t∈[0,T]. ... -
Existence, uniqueness and Malliavin differentiability of Lévy-driven BSDEs with locally Lipschitz driver
Geiss, Christel; Steinicke, Alexander (Taylor & Francis, 2020)We investigate conditions for solvability and Malliavin differentiability of backward stochastic differential equations driven by a Lévy process. In particular, we are interested in generators which satisfy a local Lipschitz ... -
Quadratic backward stochastic differential equations
Eirola, Timo (2017)Tässä tutkielmassa analysoimme takaperoisia stokastisia differentiaaliyhtälöitä. Aloitamme esittelemällä stokastiset prosessit, Brownin liikkeen, stokastiset integraalit ja Itôn kaavan. Tämän jälkeen siirrymme tarkastelemaan ...