Show simple item record

dc.contributor.advisorKilpeläinen, Tero
dc.contributor.authorKauppinen, Jussi
dc.date.accessioned2020-12-07T13:50:59Z
dc.date.available2020-12-07T13:50:59Z
dc.date.issued2020
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/73002
dc.description.abstractCharles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että kompleksitasossa differentioituva kompleksiarvoinen funktio saa enintään yhtä arvoa lukuunottamatta kaikki arvot. Tutkielmassa tullaan esittämään lauseelle Harnackin epäyhtälöön perustuva todistus. Tutkielmassa esitellään runsaasti tarvittavia esitietoja, jotta lukija voi perehtyä halutessaan huolella päätuloksen todistuksen taustalla olevaan analyysiin. Esitiedot alkavat kompleksisen differentioituvuuden osuudesta, jossa keskitytään todistamaan harmonisten funktioiden kannalta tärkeät Cauchyn ja Riemannin yhtälöt. Kompleksisen integroinnin osuudessa rakennetaan todistus Taylorin kehitelmälle ja päätulosta muistuttavalle Liouvillen lauseelle. Molemmat tulokset liittyvät olennaisesti harmonisten funktioiden tuloksiin. Myös Möbius-kuvausten teoriaa esitellään sitä varten, että eräs Picardin lausetta muistuttava tulos saadaan todistettua harmonisille funktioille. Harmonisten funktioiden teoria liittyy jo suoraan päätuloksen todistukseen. Erityisesti tärkeitä tuloksia kyseisessä kappaleessa ovat tulokset, jotka liittävät harmoniset funktiot kompleksianalyyttisiin ja reaalianalyyttisiin funktioihin. Harnackin epäyhtälöä ja Harnack-funktioita käsittelevässä kappaleessa esitellään kyseinen epäyhtälö ja siihen perustuvat funktiot. Harnack-funktioissa tärkeää tutkielman kannalta on niiden yhteys harmonisiin funktioihin. Kappaleessa esitellään päätulokseen tarvittava tulos harmonisten funktioiden jonojen käyttäytymisestä. Viimeinen tulos tutkielmassa ennen päätuloksen todistusta on lemma, jonka avulla Harnackfunktioida voidaan arvioida tarkemmin. Picardin lauseelle esitettävä todistus ei lauseen luonteesta huolimatta juurikaan nojaudu kompleksianalyysin tuloksiin. Todistuksessa rakennetaan väitteen analyyttisesta funktiosta reaaliarvoisia harmonisia funktioita ja näytetään, että ei ole mahdollista, että alkuperäinen funktio jättää saamatta kaksi eri arvoa. Todistuksessa käytetään siis hyödyksi tutkielmassa esiteltyjen funktioiden yhteyksiä toisiinsa.fi
dc.format.extent25
dc.format.mimetypeapplication/pdf
dc.language.isofi
dc.subject.otherkompleksianalyysi
dc.subject.otherharmoniset funktiot
dc.subject.otherreaalianalyyttiset funktiot
dc.subject.otherkompleksinen polkuintegraali
dc.subject.otherMöbius-kuvaukset
dc.subject.otherHarnack-funktiot
dc.subject.otherHarnackin epäyhtälö
dc.subject.otherPicardin lause
dc.titlePicardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-202012076949
dc.type.ontasotPro gradu -tutkielmafi
dc.type.ontasotMaster’s thesisen
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.oppiaineMatematiikkafi
dc.contributor.oppiaineMathematicsen
dc.rights.copyrightJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rights.copyrightThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.type.publicationmasterThesis
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysofunktioteoria
dc.subject.ysomatematiikka
dc.subject.ysofunktiot
dc.subject.ysoanalyyttiset funktiot
dc.subject.ysoryhmäteoria
dc.subject.ysomatemaattinen analyysi
dc.format.contentfulltext
dc.type.okmG2


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record