Matemaattista biljardia ja geometriaa

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on avata matemaattisen tasobiljardin keskeisiä tuloksia geometrian keinoin. Lisäksi tavoitteena on muodostaa lukioikäisille suunnattu biljardigeometriaan liittyvä tehtäväkokonaisuus, jonka avulla opiskelijat pääsisivät tutustumaan matemaattiseen biljardiin. Tutkielmassa keskitytään pääsasiassa ympyrä- ja ellipsibiljardiin ja tutustutaan hieman myös monikulmiobiljardiin neliö- ja kolmiobiljardin muodossa. Tutkielmassa käydään ensin läpi konveksin, suljetun ja rajoitetun tasoalueen yleinen tasobiljardikuvaus, josta johdetaan myöhemmin ympyräbiljardikuvaus. Ympyräbiljardissa huomataan, että kiertokulmaa vastaavan kaaren pituus määrää suoraan sen, onko ratakäyrä jaksollinen vai ei. Lisäksi havaitaan, että ympyräbiljardissa rata kulkee aina joko edestakaisin ympyrän keskipisteen kautta tai kiertäen keskipistettä sellaisia ratasegmenttejä pitkin, jotka sivuavat sisempää samakeskistä ympyrää. Tätä ratakäyrien sivuamaa ympyrää kutsutaan ympyräbiljardin kaustiseksi käyräksi. Ympyräbiljardin jälkeen siirrytään neliöbiljardiin, missä huomataan olevan varsin paljon samankaltaisuutta ympyräbiljardin kanssa. Neliöbiljardissa biljardipallon lähtökulman avulla pystystään määrittämään täysin se, onko biljardirata neliöllä jaksollinen vai ei. Neliön jaksottomien ratakäyrien yhteydessä tutustutaan myös kvasijaksollisuuden käsitteeseen. Kolmiobiljardia tutkittaessa huomataan, että ratakäyrän käyttäytyminen vaihtelee melko suuresti sen mukaan, onko biljardipöytä teräväkulmaisen, suorakulmaisen vai tylppäkulmaisen kolmion muotoinen. Teräväkulmaisten kolmioiden tapauksessa löydetään aina 3-jaksollinen Fagnanon ratakäyrä. Suorakulmaisilla kolmioilla taas voidaan muodostaa minkä tahansa kolmion sisäpisteen kautta jaksollinen ratakäyrä. Sen sijaan tylppäkulmaisten kolmioiden tapauksissa ei edes tiedetä, onko jokaisella kolmiolla jaksollista biljardirataa. Kolmion jaksollisten ratakäyrien yhteydessä perehdytään myös muun muassa kohtisuoriin ratakäyriin, S-ratakäyriin ja peiliratakäyriin. Viimeisenä biljardia tarkastellaan elliptisellä biljardipöydällä, missä ratakäyrän muotoon näyttää vaikuttavan suuresti se, kulkeeko biljardirata ellipsin polttopisteiden kautta, niiden välistä vai niiden ulkopuolelta. Polttopisteiden kautta kulkeva ratakäyrä suppenee kohti isoakselia, kun taas polttopisteiden välistä tai niiden ulkopuolelta kulkeville radoille muodostuu hyperbelin tai ellipsin muotoinen kaustinen käyrä. Lisäksi Ponceletin lauseen sisältö osoittautuu varsin hyödylliseksi ellipsin jaksollisia ratakäyriä etsittäessä. Tutkielman loppuun on koottu lukioikäisille suunnattu tehtäväkokonaisuus biljardigeometriasta malliratkaisuineen ja se sisältää vaihtelevasti laskemista, väitteiden todeksi osoittamista ja asioiden tutkimista GeoGebran avulla.