Geometriaa vektoreilla

Abstract

Tutkielman tarkoituksena on perehdyttää lukija vektoreiden pohjalta luotuun geometriaan. Monesti geometriasta puhuttaessa tulee ensimmäisenä mieleen aksiomaattinen geometria kuten Eukleideen tai Hilbertin luomat aksiomaattiset järjestelmät, mutta tässä tutkielmassa näkökulma on erilainen. Geometriaa on alettu kehittämään jo ennen ajanlaskun alkua, mutta vektoreihin perustuva geometria on kehitetty vasta 1800-luvun loppupuolella.

Tutkielma jakautuu kolmeen osaan, jossa ensimmäinen osa käsittelee yhdensuuntaisia suoria ja eri suorilla olevien pisteiden välisiä jakosuhteita. Suorat ovat geometriassa usein lähtökohtana ja siksi niihin on hyvä syventyä ennen geometrian muita osa-alueita. Monissa tämän tutkielman todistuksissa otetaan apuvälineeksi käyttöön jakosuhteet, joten aluksi on hyvä tutustua niiden ominaisuuksiin.

Toisessa osassa keskitytään kolmioihin ja niiden ominaisuuksiin. Kolmen eri suoran leikkauspisteistä saadaan aikaan kolmio, joten suoriin perehtymisen jälkeen kolmio on jatkumoa edelliselle osalle. Kolmioille on olemassa monia tunnettuja lauseita, joita tässäkin tutkielmassa tarkastellaan. Näitä ovat muun muassa Cevan lause sekä kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuussäännöt.

Kolmas osa jatkaa kolmioiden ominaisuuksista, sillä osassa tutustutaan ja perehdytään kolmion merkillisiin pisteisiin. Kolmion merkilliset pisteet syntyvät kolmion sivujen ja/tai kulmien välille muodostuvien janojen tai niiden jatkeiden leikkauspisteistä. Tässä tutkielmassa esitellään neljä kolmion merkillistä pistettä, joista ensimmäinen muodostuu kolmion korkeusjanojen leikkauspisteenä, toinen on kolmion keskijanojen leikkauspiste ja kolmas kolmion merkillinen piste syntyy kolmion keskinormaalien leikkauspisteistä. Näiden kolmen kolmion merkillisen pisteen kautta kulkee Eulerin suoraksi kutsuttu suora. Neljäs kolmion merkillisistä pisteistä, joka ei sisälly Eulerin suoraan, muodostuu kolmion kulmanpuolittajien leikkauspisteeseen.