University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Matemaattista biljardia ja geometriaa

Thumbnail
View/Open
1.4Mb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Hovinmäki, Noora
Date
2020
Discipline
Matematiikan opettajankoulutusTeacher education programme in Mathematics
Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

 
Tämän tutkielman tarkoituksena on avata matemaattisen tasobiljardin keskeisiä tuloksia geometrian keinoin. Lisäksi tavoitteena on muodostaa lukioikäisille suunnattu biljardigeometriaan liittyvä tehtäväkokonaisuus, jonka avulla opiskelijat pääsisivät tutustumaan matemaattiseen biljardiin. Tutkielmassa keskitytään pääsasiassa ympyrä- ja ellipsibiljardiin ja tutustutaan hieman myös monikulmiobiljardiin neliö- ja kolmiobiljardin muodossa. Tutkielmassa käydään ensin läpi konveksin, suljetun ja rajoitetun tasoalueen yleinen tasobiljardikuvaus, josta johdetaan myöhemmin ympyräbiljardikuvaus. Ympyräbiljardissa huomataan, että kiertokulmaa vastaavan kaaren pituus määrää suoraan sen, onko ratakäyrä jaksollinen vai ei. Lisäksi havaitaan, että ympyräbiljardissa rata kulkee aina joko edestakaisin ympyrän keskipisteen kautta tai kiertäen keskipistettä sellaisia ratasegmenttejä pitkin, jotka sivuavat sisempää samakeskistä ympyrää. Tätä ratakäyrien sivuamaa ympyrää kutsutaan ympyräbiljardin kaustiseksi käyräksi. Ympyräbiljardin jälkeen siirrytään neliöbiljardiin, missä huomataan olevan varsin paljon samankaltaisuutta ympyräbiljardin kanssa. Neliöbiljardissa biljardipallon lähtökulman avulla pystystään määrittämään täysin se, onko biljardirata neliöllä jaksollinen vai ei. Neliön jaksottomien ratakäyrien yhteydessä tutustutaan myös kvasijaksollisuuden käsitteeseen. Kolmiobiljardia tutkittaessa huomataan, että ratakäyrän käyttäytyminen vaihtelee melko suuresti sen mukaan, onko biljardipöytä teräväkulmaisen, suorakulmaisen vai tylppäkulmaisen kolmion muotoinen. Teräväkulmaisten kolmioiden tapauksessa löydetään aina 3-jaksollinen Fagnanon ratakäyrä. Suorakulmaisilla kolmioilla taas voidaan muodostaa minkä tahansa kolmion sisäpisteen kautta jaksollinen ratakäyrä. Sen sijaan tylppäkulmaisten kolmioiden tapauksissa ei edes tiedetä, onko jokaisella kolmiolla jaksollista biljardirataa. Kolmion jaksollisten ratakäyrien yhteydessä perehdytään myös muun muassa kohtisuoriin ratakäyriin, S-ratakäyriin ja peiliratakäyriin. Viimeisenä biljardia tarkastellaan elliptisellä biljardipöydällä, missä ratakäyrän muotoon näyttää vaikuttavan suuresti se, kulkeeko biljardirata ellipsin polttopisteiden kautta, niiden välistä vai niiden ulkopuolelta. Polttopisteiden kautta kulkeva ratakäyrä suppenee kohti isoakselia, kun taas polttopisteiden välistä tai niiden ulkopuolelta kulkeville radoille muodostuu hyperbelin tai ellipsin muotoinen kaustinen käyrä. Lisäksi Ponceletin lauseen sisältö osoittautuu varsin hyödylliseksi ellipsin jaksollisia ratakäyriä etsittäessä. Tutkielman loppuun on koottu lukioikäisille suunnattu tehtäväkokonaisuus biljardigeometriasta malliratkaisuineen ja se sisältää vaihtelevasti laskemista, väitteiden todeksi osoittamista ja asioiden tutkimista GeoGebran avulla. ...
Keywords
biljardiradat ympyräbiljardi ellipsibiljardi monikulmiobiljardi neliöbiljardi kolmiobiljardi geometria biljardi
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-202004072693

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [23369]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Eukleideen geometriaa 

    Joutsen, Elina (2018)
    Eukleides Aleksandrialainen oli kreikkalainen matemaatikko, joka loi noin 300 eaa. euklidisen geometrian. Hän julkaisi euklidisen geometrian perustana olevat aksioomat ja perusolettamukset teoksessaan Alkeet. Eukleideen ...
  • Klassista projektiivista geometriaa 

    Leppänen, Konsta (2017)
  • Hyperbolista geometriaa 

    Linjama, Juhana (2014)
  • Toiminnallista geometriaa : opetuskokeilu 6-luokkalaisille 

    Anttila, Risto; Eskelinen, Juuso (2010)
    Tämän tutkimuksen tarkoituksena oli selvittää toiminnallisuuden merkitystä matematiikan oppimisessa. Tutkimuksessa haluttiin selvittää onko toiminnallisuudella niin suuri merkitys matematiikan oppimisessa kuin usein alaan ...
  • Geometriaa vektoreilla 

    Suomela, Maria (2020)
    Tutkielman tarkoituksena on perehdyttää lukija vektoreiden pohjalta luotuun geometriaan. Monesti geometriasta puhuttaessa tulee ensimmäisenä mieleen aksiomaattinen geometria kuten Eukleideen tai Hilbertin luomat aksiomaattiset ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre