Kompleksiset vektoriavaruudet

Abstract

Tässä matematiikan pro gradu -tutkielmassa perehdytään kompleksisiin vektoriavaruuksiin ja sivutaan myös niiden sovelluskohteita. Tutkielman tavoitteena on esitellä riittävät tiedot, jotta lukija voi muodostaa eheän kokonaisuuden kompleksisten vektoriavaruuksien perusteista ja yhdistää näin saatua tietoa jo tunnettuihin reaaliavaruuden tapauksiin.

Tutkielman alussa määritellään yleisesti reaaliset vektoriavaruudet ja aliavaruudet. Työn edetessä laajennetaan tarkastelua ja määritellään myös tutkielman kannalta oleellinen kompleksinen vektoriavaruus. Määritelmät ovat hyvin lähellä toisiaan, mutta reaalisessa vektoriavaruudessa vektoreiden skalaarikertoimet ovat reaalisia, kun taas kompleksisissa vektoriavaruuksissa vektoreiden skalaarikertoimet ovat kompleksilukuja. Yleisimpänä esimerkkinä reaalisesta vektoriavaruudesta on R^n ja vastaavasti yleisin esimerkki kompleksisesta vektoriavaruudesta on C^n.

Kompleksilukujen perusteita kerrataan hieman laskutoimituksien ja ominaisuuksien osalta, ennenkuin syvennytään tarkemmin kompleksisiin vektoriavaruuksiin. Työn edetessä tarkastellaan kompleksisia vektoreita ja matriiseja, sekä niiden ominaisuuksia. Oleellista on ymmärtää vektoreihin ja matriiseihin liittyviä käsitteitä reaaliavaruudessa ja kompleksiavaruudessa, joten tarkastelu etenee johdonmukaisesti reaaliavaruuden tapauksista ja ominaisuuksista kohti kompleksiavaruuden tilanteita. Oleellisimpia määritelmiä ja tuloksia voidaan laajentaa melko vaivattomasti suoraan reaaliavaruudesta kompleksiavaruuteen. Esimerkiksi matriisi A on reaalinen matriisi, mikäli sen alkiot ovat reaalilukuja. Vastaavasti matriisi A on kompleksinen matriisi, mikäli sen alkiot ovat kompleksilukuja. Tähän liittyen voidaan laajentaa kaikki reaalisten matriisien laskutoimitukset ja matriisien perusominaisuudet koskemaan myös kompleksisia matriiseja.

Yhtenä tutkielman merkittävimpänä tarkastelun kohteena on ominaisarvoteoria, erityisesti kompleksiavaruudessa. Määritelmän mukaan reaalisella n×n -matriisilla A on reaalinen ominaisvektori x jos on olemassa reaalinen kerroin λ siten, että Ax = λx. Kompleksiavaruudessa ominaisarvot ja ominaisvektorit matriisille määritellään vastaavasti, mutta vektori x ja ominaisarvo λ ovat kompleksisia. Ratkaistaessa reaalisen n × n -matriisin ominaisarvoja ja -vektoreita havaitaan, että ominaisarvoja voi olla korkeintaan n kappaletta ja edelleen tällaisen matriisin ominaisarvot voivat olla kompleksisia, vaikka matriisin alkiot olisivat olleet reaalilukuja. Reaalisesta tilanteesta poiketen, kompleksisella n × n -matriisilla on aina (kertaluvut huomioiden) n kappaletta ominaisarvoja, joista osa voi olla reaalisia ja osa kompleksisia.

Tutkielmassa perehdytään tarkemmin reaalisiin ja kompleksisiin 2×2 -matriiseihin, joiden avulla selvitetään matriisien ominaisarvojen geometrista tulkintaa ja graafisia ominaisuuksia. Työn lopussa esitetään, kuinka matriisien kompleksiset ominaisarvot näkyvät vektorin kiertoina ja pituuden muutoksena kun kerrotaan vektoria x matriisilla A.