Show simple item record

dc.contributor.advisorJuutinen, Petri
dc.contributor.authorSärkijärvi, Tuomas
dc.date.accessioned2020-03-25T09:55:22Z
dc.date.available2020-03-25T09:55:22Z
dc.date.issued2020
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/68321
dc.description.abstractTässä matematiikan pro gradu -tutkielmassa perehdytään kompleksisiin vektoriavaruuksiin ja sivutaan myös niiden sovelluskohteita. Tutkielman tavoitteena on esitellä riittävät tiedot, jotta lukija voi muodostaa eheän kokonaisuuden kompleksisten vektoriavaruuksien perusteista ja yhdistää näin saatua tietoa jo tunnettuihin reaaliavaruuden tapauksiin. Tutkielman alussa määritellään yleisesti reaaliset vektoriavaruudet ja aliavaruudet. Työn edetessä laajennetaan tarkastelua ja määritellään myös tutkielman kannalta oleellinen kompleksinen vektoriavaruus. Määritelmät ovat hyvin lähellä toisiaan, mutta reaalisessa vektoriavaruudessa vektoreiden skalaarikertoimet ovat reaalisia, kun taas kompleksisissa vektoriavaruuksissa vektoreiden skalaarikertoimet ovat kompleksilukuja. Yleisimpänä esimerkkinä reaalisesta vektoriavaruudesta on R^n ja vastaavasti yleisin esimerkki kompleksisesta vektoriavaruudesta on C^n. Kompleksilukujen perusteita kerrataan hieman laskutoimituksien ja ominaisuuksien osalta, ennenkuin syvennytään tarkemmin kompleksisiin vektoriavaruuksiin. Työn edetessä tarkastellaan kompleksisia vektoreita ja matriiseja, sekä niiden ominaisuuksia. Oleellista on ymmärtää vektoreihin ja matriiseihin liittyviä käsitteitä reaaliavaruudessa ja kompleksiavaruudessa, joten tarkastelu etenee johdonmukaisesti reaaliavaruuden tapauksista ja ominaisuuksista kohti kompleksiavaruuden tilanteita. Oleellisimpia määritelmiä ja tuloksia voidaan laajentaa melko vaivattomasti suoraan reaaliavaruudesta kompleksiavaruuteen. Esimerkiksi matriisi A on reaalinen matriisi, mikäli sen alkiot ovat reaalilukuja. Vastaavasti matriisi A on kompleksinen matriisi, mikäli sen alkiot ovat kompleksilukuja. Tähän liittyen voidaan laajentaa kaikki reaalisten matriisien laskutoimitukset ja matriisien perusominaisuudet koskemaan myös kompleksisia matriiseja. Yhtenä tutkielman merkittävimpänä tarkastelun kohteena on ominaisarvoteoria, erityisesti kompleksiavaruudessa. Määritelmän mukaan reaalisella n×n -matriisilla A on reaalinen ominaisvektori x jos on olemassa reaalinen kerroin λ siten, että Ax = λx. Kompleksiavaruudessa ominaisarvot ja ominaisvektorit matriisille määritellään vastaavasti, mutta vektori x ja ominaisarvo λ ovat kompleksisia. Ratkaistaessa reaalisen n × n -matriisin ominaisarvoja ja -vektoreita havaitaan, että ominaisarvoja voi olla korkeintaan n kappaletta ja edelleen tällaisen matriisin ominaisarvot voivat olla kompleksisia, vaikka matriisin alkiot olisivat olleet reaalilukuja. Reaalisesta tilanteesta poiketen, kompleksisella n × n -matriisilla on aina (kertaluvut huomioiden) n kappaletta ominaisarvoja, joista osa voi olla reaalisia ja osa kompleksisia. Tutkielmassa perehdytään tarkemmin reaalisiin ja kompleksisiin 2×2 -matriiseihin, joiden avulla selvitetään matriisien ominaisarvojen geometrista tulkintaa ja graafisia ominaisuuksia. Työn lopussa esitetään, kuinka matriisien kompleksiset ominaisarvot näkyvät vektorin kiertoina ja pituuden muutoksena kun kerrotaan vektoria x matriisilla A.fi
dc.format.extent31
dc.language.isofi
dc.titleKompleksiset vektoriavaruudet
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-202003252537
dc.type.ontasotMaster’s thesisen
dc.type.ontasotPro gradu -tutkielmafi
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.oppiaineMatematiikan opettajankoulutusfi
dc.contributor.oppiaineTeacher education programme in Mathematicsen
dc.rights.copyrightJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rights.copyrightThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysomatriisit
dc.subject.ysomatematiikka
dc.subject.ysolineaarialgebra
dc.subject.ysoominaisarvot
dc.subject.ysokompleksiluvut
dc.subject.ysomatriisilaskenta
dc.subject.ysoalgebra
dc.subject.ysovektorit (matematiikka)


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record