Poistuvuus kvasikonformi- ja Sobolev-kuvauksille

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutkia kompaktien joukkojen poistuvuutta jatkuville Sobolev-funktioille sekä kvasikonformikuvauksille. Työssä esitetään tunnettuja tuloksia poistuvista joukoista sekä esimerkkejä joukoista, jotka eivät ole poistuvia ja jotka kertovat poistuvien joukkojen luonteesta. Osoitetaan, että valituilla oletuksilla $W^{1,n}$ Sobolev-avaruuden poistuvat joukot ovat kvasikonformisesti poistuvia ja tutkielman päätuloksena todistetaan, että rajoitettujen John-alueiden reunat ovat poistuvia molempien funktioluokkien tapauksessa. Tarkastelemme myös joitain tämän tuloksen yleistäviä tuloksia. Käänteinen kysymys; ovatko kvasikonformisesti poistuvat joukot poistuvia Sobolev-avaruudessa on edelleen avoin ja eikä myöskään kummankaan luokan poistuville joukoille tunneta täydellistä geometrista karakterisaatiota. Lopuksi tarkastellaan tuloksia, jotka antavat ehtoja joukon kvasikonformiselle poistuvuudelle.