Steinerin sisäellipsi
Tekijät
Päivämäärä
2019Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tutkielmassa tutustutaan Steinerin sisäellipsiin. Steinerin sisäellipsiksi kutsutaan
kolmion sisällä olevaa ellipsiä, joka sivuaa kolmion jokaista sivua sivun keskipisteessä.
Steinerin sisäellipsi on ympyrä jos ja vain jos kolmio on tasasivuinen.
Tutkielman päätulokset ovat Steinerin lause ja Mardenin lause. Steinerin lauseen
mukaan jokaisella kolmiolla on yksikäsitteinen Steinerin sisäellipsi. Mardenin lauseessa saadaan Steinerin sisäellipsin polttopisteet kompleksitason kolmannen asteen polynomin, jonka juuria ovat kolmion kärkipisteet, kriittisistä pisteistä. Tästä myös
huomataan, että Steinerin sisäellipsi on ympyrä jos ja vain jos polynomin derivaatalla on kaksoisjuuri. Tällöin kolmio on tasasivuinen. Lisäksi tutkielmassa osoitetaan,
että Steinerin sisäellipsi on pinta-alaltaan suurin mahdollinen ellipsi, joka voidaan
konstruoida kolmion sisälle.
Tutkielmassa myös tutustutaan Steinerin yksikkösisäellipsiin, joka on Steinerin sisäellipsin erikoistilanne. Tällöin kolmion kärkipisteet ovat yksikköympyrällä. Lopuksi
käydään läpi yllättäviäkin tuloksia, kun huomataan geometriasta tuttujen Fermat’n
pisteiden yhteys Steinerin sisäellipsien akseleihin. Lisäksi Fermat’n pisteiden avulla
pystytään konstruoimaan Steinerin sisäellipsin polttopisteet.
Steinerin ja Mardenin lauseiden todistamista varten käytetään kompleksiaffiineja kuvauksia. Kompleksiaffiinit kuvaukset kuvaavat kolmiot kolmioiksi ja säilyttävät
janojen keskipisteet. Kompleksiaffiineilla kuvauksilla Steinerin sisäellipsi kuvautuu
kuvautuneen kolmion Steinerin sisäellipsiksi. Näin ollen kompleksiaffiineilla kuvauksilla pystytään siirtämään, skaalaamaan ja kiertämään kolmiota haluttuun paikkaan,
jolloin Mardenin lauseen todistaminen helpottuu alkuperäisen polynomin yksinkertaistuessa.
...
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28120]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Environmental Problem-solving and Hands-on Geometry Learning through Storytelling inside a Geodesic Dome : Ice, Honey and Stardust
Fenyvesi, Kristóf; Brownell, Christopher S.; Salmi, Hannu; Park, Ho Gul; Muntean, Adela; Kaukolinna, Matias; Thuneberg, Helena; Bogner, Franz; Lavicza, Zsolt (Tessellations Publishing, 2019)In this workshop, we introduce a STEAM learning activity based on the construction of geodesic domes. This workshop will engage participants in various preliminary and exploratory constructions, while also applying the ... -
Exploring Kaleidocycles with LUX
Acerra, Michael; Kaukolinna, Matias; Ivchenko, Alexey; Fenyvesi, Kristóf (Tessellations Publishing, 2019)Participants can experiment with building a series of dynamic linkages, mainly triangular and cubic kaleidocycles with the LUX construction system. In order to make the required movements with LUX, a new LUX module has ... -
Polynomiyhtälön ratkaiseminen
Auvinen, Anna-Mari (2018)Tämän tutkielman tarkoituksena on näyttää, kuinka eri asteisia polynomiyhtälöitä ratkaistaan. Todistetaan toisen ja kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat. -
Origami geometristen konstruktioiden ja yhtälönratkaisun välineenä
Palomäki, Stina (2023)Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä lukijalle paperintaittelu tasogeometrian konstruktioiden työkaluna. Tutkielmassa esitellään ensin kaikki mahdolliset tavat taittaa paperi annettujen pisteiden ja suorien perusteella. ... -
Spatiaalisen valomodulaattorin käyttö grafeenin muokkauksessa
Parikka, Johannes (2020)Tämä tutkielma käsittelee spatiaalisen valomodulaattorin (SLM) käyttöä grafeenin 3D-muokkauksessa eli optisessa taonnassa. Lisäksi projektissa perehdyttiin yleisesti optiikan komponenttien käyttöön sekä atomivoima- ja ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.