Steinerin sisäellipsi
Authors
Date
2019Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tutkielmassa tutustutaan Steinerin sisäellipsiin. Steinerin sisäellipsiksi kutsutaan
kolmion sisällä olevaa ellipsiä, joka sivuaa kolmion jokaista sivua sivun keskipisteessä.
Steinerin sisäellipsi on ympyrä jos ja vain jos kolmio on tasasivuinen.
Tutkielman päätulokset ovat Steinerin lause ja Mardenin lause. Steinerin lauseen
mukaan jokaisella kolmiolla on yksikäsitteinen Steinerin sisäellipsi. Mardenin lauseessa saadaan Steinerin sisäellipsin polttopisteet kompleksitason kolmannen asteen polynomin, jonka juuria ovat kolmion kärkipisteet, kriittisistä pisteistä. Tästä myös
huomataan, että Steinerin sisäellipsi on ympyrä jos ja vain jos polynomin derivaatalla on kaksoisjuuri. Tällöin kolmio on tasasivuinen. Lisäksi tutkielmassa osoitetaan,
että Steinerin sisäellipsi on pinta-alaltaan suurin mahdollinen ellipsi, joka voidaan
konstruoida kolmion sisälle.
Tutkielmassa myös tutustutaan Steinerin yksikkösisäellipsiin, joka on Steinerin sisäellipsin erikoistilanne. Tällöin kolmion kärkipisteet ovat yksikköympyrällä. Lopuksi
käydään läpi yllättäviäkin tuloksia, kun huomataan geometriasta tuttujen Fermat’n
pisteiden yhteys Steinerin sisäellipsien akseleihin. Lisäksi Fermat’n pisteiden avulla
pystytään konstruoimaan Steinerin sisäellipsin polttopisteet.
Steinerin ja Mardenin lauseiden todistamista varten käytetään kompleksiaffiineja kuvauksia. Kompleksiaffiinit kuvaukset kuvaavat kolmiot kolmioiksi ja säilyttävät
janojen keskipisteet. Kompleksiaffiineilla kuvauksilla Steinerin sisäellipsi kuvautuu
kuvautuneen kolmion Steinerin sisäellipsiksi. Näin ollen kompleksiaffiineilla kuvauksilla pystytään siirtämään, skaalaamaan ja kiertämään kolmiota haluttuun paikkaan,
jolloin Mardenin lauseen todistaminen helpottuu alkuperäisen polynomin yksinkertaistuessa.
...
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29052]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Polynomiyhtälön ratkaiseminen
Auvinen, Anna-Mari (2018)Tämän tutkielman tarkoituksena on näyttää, kuinka eri asteisia polynomiyhtälöitä ratkaistaan. Todistetaan toisen ja kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat. -
Lineaarialgebra lukiomatematiikassa
Tilli, Noora (2024)Tämä matematiikan pro gradu–tutkielma keskittyy lineaarialgebraan ja sen opetukseen lukiomatematiikassa. Tarkoituksena on tarjota eheä kattaus lineaarialgebran viidestä keskeisestä aihealueesta; matriiseista, lineaarisista ... -
Origami geometristen konstruktioiden ja yhtälönratkaisun välineenä
Palomäki, Stina (2023)Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä lukijalle paperintaittelu tasogeometrian konstruktioiden työkaluna. Tutkielmassa esitellään ensin kaikki mahdolliset tavat taittaa paperi annettujen pisteiden ja suorien perusteella. ... -
Kolmiulotteiset isometriat
Kannisto, Erika (2024)Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella kolmiulotteisen avaruuden isometrioita eli kuvauksia, jotka säilyttävät pisteparien etäisyydet, sekä tetraedrin symmetriaryhmää. Symmetriaryhmä tarkoittaa kuvauksia, jotka ... -
Rudolf Steinerin kehitys ja ajattelu : filosofis-psykologinen tutkimus
Turunen, Kari E. (1990)Tässä työssä tarkastelen kiistellyn filosofin ja hengentieteilijän Rudolf Steinerin (1861-1925) kehitystä, persoonallisuutta ja ajattelua. Tutkimuksessani lähden siitä näkökulmasta, että filosofia on sekä oman aikansa ...