Steinerin sisäellipsi

Abstract

Tutkielmassa tutustutaan Steinerin sisäellipsiin. Steinerin sisäellipsiksi kutsutaan kolmion sisällä olevaa ellipsiä, joka sivuaa kolmion jokaista sivua sivun keskipisteessä. Steinerin sisäellipsi on ympyrä jos ja vain jos kolmio on tasasivuinen.

Tutkielman päätulokset ovat Steinerin lause ja Mardenin lause. Steinerin lauseen mukaan jokaisella kolmiolla on yksikäsitteinen Steinerin sisäellipsi. Mardenin lauseessa saadaan Steinerin sisäellipsin polttopisteet kompleksitason kolmannen asteen polynomin, jonka juuria ovat kolmion kärkipisteet, kriittisistä pisteistä. Tästä myös huomataan, että Steinerin sisäellipsi on ympyrä jos ja vain jos polynomin derivaatalla on kaksoisjuuri. Tällöin kolmio on tasasivuinen. Lisäksi tutkielmassa osoitetaan, että Steinerin sisäellipsi on pinta-alaltaan suurin mahdollinen ellipsi, joka voidaan konstruoida kolmion sisälle.

Tutkielmassa myös tutustutaan Steinerin yksikkösisäellipsiin, joka on Steinerin sisäellipsin erikoistilanne. Tällöin kolmion kärkipisteet ovat yksikköympyrällä. Lopuksi käydään läpi yllättäviäkin tuloksia, kun huomataan geometriasta tuttujen Fermat’n pisteiden yhteys Steinerin sisäellipsien akseleihin. Lisäksi Fermat’n pisteiden avulla pystytään konstruoimaan Steinerin sisäellipsin polttopisteet.

Steinerin ja Mardenin lauseiden todistamista varten käytetään kompleksiaffiineja kuvauksia. Kompleksiaffiinit kuvaukset kuvaavat kolmiot kolmioiksi ja säilyttävät janojen keskipisteet. Kompleksiaffiineilla kuvauksilla Steinerin sisäellipsi kuvautuu kuvautuneen kolmion Steinerin sisäellipsiksi. Näin ollen kompleksiaffiineilla kuvauksilla pystytään siirtämään, skaalaamaan ja kiertämään kolmiota haluttuun paikkaan, jolloin Mardenin lauseen todistaminen helpottuu alkuperäisen polynomin yksinkertaistuessa.