Poissonin yhtälö ja Greenin funktio

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on muodostaa ratkaisufunktiot Laplacen ja Poissonin yhtälöille avaruudessa $\mathbb{R}^n$ ja sen avoimen osajoukon tapauksessa. Laplacen yhtälön avulla voidaan määritellä muun muassa harmoniset funktiot, joita etsittävät ratkaisufunktiotkin tulevat olemaan. Siten tutkielman aluksi tutkitaan harmonisia funktioita ja osoitetaan niitä koskevien lauseiden avulla, että tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat yksikäsitteisiä. Tämän jälkeen ryhdytään tutkimaan Laplacen ja Poissonin yhtälöitä ensiksi koko avaruudessa.

Avoin osajoukko asettaa puolestaan uusia vaatimuksia ratkaisufunktioille, sillä joukon reunalla niiden on toteutettava eräitä ehtoja. Tätä varten määritellään ensiksi korjausfunktio tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisuna ja sitä hyödyntäen määritellään Greenin funktio. Yleisen avoimen osajoukon tapauksessa varsinkin korjausfunktiolle on hyvinkin vaikea saada yksikäsitteistä esitysmuotoa eikä sen olemassaolokaan ole aina selvää. Tästä huolimatta esitetään Laplacen ja Poissonin yhtälöiden ratkaisukaavat avoimen osajoukon tapauksessa ja todistetaan ne. Tätä varten joudutaan olettamaan korjausfunktio olemassaolevaksi, eli tutkittava joukko on oltava suotuisa.

Korjausfunktio on kuitenkin hyvin keskeisessä roolissa Greenin funktion muodostamisessa ja siten myös ratkaisufunktioiden esittämisessä. Tästä syystä tutkielman lopussa käsitellään kaksi joukkoa, joissa korjausfunktiolle löydetään konkreettinen esitys: yksikköpallo ja puoliavaruus. Lopuksi esitetään vielä ratkaisufunktiot näissä joukoissa mahdollisimman konkreettisessa muodossa.