Poissonin yhtälö ja Greenin funktio
Authors
Date
2019Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tämän tutkielman tarkoituksena on muodostaa ratkaisufunktiot Laplacen ja Poissonin yhtälöille avaruudessa $\mathbb{R}^n$ ja sen avoimen osajoukon tapauksessa. Laplacen yhtälön avulla voidaan määritellä muun muassa harmoniset funktiot, joita etsittävät ratkaisufunktiotkin tulevat olemaan. Siten tutkielman aluksi tutkitaan harmonisia funktioita ja osoitetaan niitä koskevien lauseiden avulla, että tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat yksikäsitteisiä. Tämän jälkeen ryhdytään tutkimaan Laplacen ja Poissonin yhtälöitä ensiksi koko avaruudessa.
Avoin osajoukko asettaa puolestaan uusia vaatimuksia ratkaisufunktioille, sillä joukon reunalla niiden on toteutettava eräitä ehtoja. Tätä varten määritellään ensiksi korjausfunktio tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisuna ja sitä hyödyntäen määritellään Greenin funktio. Yleisen avoimen osajoukon tapauksessa varsinkin korjausfunktiolle on hyvinkin vaikea saada yksikäsitteistä esitysmuotoa eikä sen olemassaolokaan ole aina selvää. Tästä huolimatta esitetään Laplacen ja Poissonin yhtälöiden ratkaisukaavat avoimen osajoukon tapauksessa ja todistetaan ne. Tätä varten joudutaan olettamaan korjausfunktio olemassaolevaksi, eli tutkittava joukko on oltava suotuisa.
Korjausfunktio on kuitenkin hyvin keskeisessä roolissa Greenin funktion muodostamisessa ja siten myös ratkaisufunktioiden esittämisessä. Tästä syystä tutkielman lopussa käsitellään kaksi joukkoa, joissa korjausfunktiolle löydetään konkreettinen esitys: yksikköpallo ja puoliavaruus. Lopuksi esitetään vielä ratkaisufunktiot näissä joukoissa mahdollisimman konkreettisessa muodossa.
...
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29114]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset
Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ... -
Lineaariset toisen asteen hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Kauppinen, Matti (2022)Tässä työssä tutkitaan toisen asteen lineaarisia hyperbolisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Toisen asteen lineaariset hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat luonnollinen yleistys aaltoyhtälölle $$u_{tt} + \Delta ... -
Köydenvetopeli satunnaiskohinalla ja p-Laplacen yhtälö
Taipalus, Janne (2023)Tässä tutkielmassa tutustumme köydenvetopeliin satunnaiskohinalla. Kyseinen peli on kahden pelaajan stokastinen peli, jossa kukin pelaaja yrittää saavuttaa alueen reunan sellaisesta kohdasta, joka on hänelle edullinen. ... -
Cauchyn lause ja potentiaalifunktiot
Haasianlahti, Ivar (2019)Tämä tutkielma käsittelee reaalisia ja kompleksisia tieintegraaleja tasossa. Kiinnostuksen kohteena ovat erityisesti ne erikoistapaukset, joissa integrointiin liittyvä tie on suljettu, ja integroitava kuvaus on joko lokaalisi ... -
Poissonin yhtälön nopeat ratkaisijat
Jauhiainen, Susanne (2016)Tutkielmassa esitellään Poissonin yhtälö sekä sen diskretointi. Lisäksi käydään läpi kaksi nopeaa numeerista menetelmää yhtälön ratkaisemiseksi. Yksinkertaisuuden vuoksi rajoitutaan kaksiulotteisiin tehtäviin, joissa on ...