Poissonin yhtälö ja Greenin funktio
Tekijät
Päivämäärä
2019Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tämän tutkielman tarkoituksena on muodostaa ratkaisufunktiot Laplacen ja Poissonin yhtälöille avaruudessa $\mathbb{R}^n$ ja sen avoimen osajoukon tapauksessa. Laplacen yhtälön avulla voidaan määritellä muun muassa harmoniset funktiot, joita etsittävät ratkaisufunktiotkin tulevat olemaan. Siten tutkielman aluksi tutkitaan harmonisia funktioita ja osoitetaan niitä koskevien lauseiden avulla, että tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat yksikäsitteisiä. Tämän jälkeen ryhdytään tutkimaan Laplacen ja Poissonin yhtälöitä ensiksi koko avaruudessa.
Avoin osajoukko asettaa puolestaan uusia vaatimuksia ratkaisufunktioille, sillä joukon reunalla niiden on toteutettava eräitä ehtoja. Tätä varten määritellään ensiksi korjausfunktio tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisuna ja sitä hyödyntäen määritellään Greenin funktio. Yleisen avoimen osajoukon tapauksessa varsinkin korjausfunktiolle on hyvinkin vaikea saada yksikäsitteistä esitysmuotoa eikä sen olemassaolokaan ole aina selvää. Tästä huolimatta esitetään Laplacen ja Poissonin yhtälöiden ratkaisukaavat avoimen osajoukon tapauksessa ja todistetaan ne. Tätä varten joudutaan olettamaan korjausfunktio olemassaolevaksi, eli tutkittava joukko on oltava suotuisa.
Korjausfunktio on kuitenkin hyvin keskeisessä roolissa Greenin funktion muodostamisessa ja siten myös ratkaisufunktioiden esittämisessä. Tästä syystä tutkielman lopussa käsitellään kaksi joukkoa, joissa korjausfunktiolle löydetään konkreettinen esitys: yksikköpallo ja puoliavaruus. Lopuksi esitetään vielä ratkaisufunktiot näissä joukoissa mahdollisimman konkreettisessa muodossa.
...
![showless](/themes/JYX2//images/showless.png)
![showmore](/themes/JYX2//images/showmore.png)
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28907]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset
Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ... -
Lineaariset toisen asteen hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Kauppinen, Matti (2022)Tässä työssä tutkitaan toisen asteen lineaarisia hyperbolisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Toisen asteen lineaariset hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat luonnollinen yleistys aaltoyhtälölle $$u_{tt} + \Delta ... -
Köydenvetopeli satunnaiskohinalla ja p-Laplacen yhtälö
Taipalus, Janne (2023)Tässä tutkielmassa tutustumme köydenvetopeliin satunnaiskohinalla. Kyseinen peli on kahden pelaajan stokastinen peli, jossa kukin pelaaja yrittää saavuttaa alueen reunan sellaisesta kohdasta, joka on hänelle edullinen. ... -
Developments in many-body theory of quantum transport and spectroscopy with non-equilibrium Green's functions and time-dependent density functional theory
Uimonen, Anna-Maija (University of Jyväskylä, 2015)The problem of quantum dynamics in open systems has gained attention in recent decades and not the least due to the advances made in quantum transport in molecular systems. The main motivation behind quantum transport ... -
Application of time-dependent many-body perturbation theory to excitation spectra of selected finite model systems
Säkkinen, Niko (University of Jyväskylä, 2016)In this thesis, an approximate method introduced to solve time-dependent many-body problems known as time-dependent many-body perturbation theory is studied. Many-body perturbation theory for interacting electrons and ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.