Seikkailu pallogeometriaan ja työkaluja GeoGebraan

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua yhteen epäeuklidiseen geometriaan, pallogeometriaan, ja verrata sitä koulumatematiikasta jokaiselle tuttuun euklidiseen geometriaan. Yksinkertaisuudessaan pallogeometria on geometriaa pallon pinnalla. Tutkitaan, mitä esimerkiksi suora ja kolmio tarkoittavat pallon pinnalla, ja minkälaisia ominaisuuksia niillä on. Pallogeometriaan tutustuminen syventää avaruuden ja aksioomaattisen järjestelmän ymmärtämistä. Yhden aksiooman poisjättäminen määrittääkin useita erilaisia geometrian malleja. Pallogeometria on käsitteenä samaan aikaan hyvin etäinen ja hyvin arkipäiväinen; harva tietää, mikä on isoympyrän määritelmä, mutta jokainen tarvitsee joskus karttaa, joka on joko pallo tai sen approksimaatio euklidisessa tasossa. Tutkielman alussa määritellään yksikköpallo, joka toimii koko tutkielman pohjana, ja kaikki tutkielmassa esitetyt asiat tehdään yksikköpallolla. Sen jälkeen määritellään antipodi, isoympyrä, isometriat ja kolmiot. Näiden lisäksi tarkastellaan tuttuja trigonometrisiä funktioita ja muotoillaan sini- ja kosinilauseiden lisäksi myös Pythagoraan lause pallolle. Lopuksi vielä tarkastellaan, voidaanko palloa approksimoida euklidiseen tasoon ja pohditaan, voivatko tasokartat olla tarkkoja. Palloon tutustumisen lisäksi tämän tutkielman ohella on tehty pallogeometriaa havainnollistavia työkaluja GeoGebraan, joka on lukiolaisille arkipäiväinen oppimisympäristö. Nämä työkalut esitellään viimeisessä luvussa. Nykyisten sähköisten ylioppilaskirjoitusten vuoksi lukion oppimateriaalit hyödyntävät paljon sähköisiä oppimisympäristöjä ja työkaluja, kuten GeoGebraa. Työkalujen tekemisen lisäksi tutkielmaan on haastateltu GeoGebraa oppimisvälineenä tutkinutta Jyväskylän yliopiston lehtoria Markus Hähkiöniemeä, joka kannustaa opettajia ja oppilaita rohkeasti tutustumaan GeoGebraan. Pallogeometria on monipuolinen ja erilainen näkokulma geometriaan koulumaailmaan tuotavaksi. Se on oppilaille ja opiskelijoille uudenlainen esimerkki ympäristöstä, jossa kaikki ei menekään niin kuin on euklidisessa tasossa totuttu.