Kompaktisuus ja kompaktisointi

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään topologisia avaruuksia ja erityisesti niiden kompaktisuutta. Topologiset avaruudet ovat yleistys normiavaruuksista, mutta niissä ei tunneta etäisyyden käsitettä. Topologisia käsitteitä ovatkin sellaiset, jotka säilyvät avaruuden jatkuvissa muodonmuutoksissa, kuten venytyksissä ja taivutuksissa. Topologian näkökulmasta esimerkiksi väli $(0,1)$ on sama kuin koko reaaliakseli $\mathbb{R}$.

Kompaktisuus on yksi tärkeimpiä topologisia ominaisuuksia ja tutkielmassa todistetaankin useita kompaktisuuteen liittyviä tuloksia, joista tärkein on ehdottomasti Tihonovin lause. Tihonovin lauseen sovelluksena todistamme myös Heine-Borelin lauseen, joka karakterisoi euklidisen avaruuden $\mathbb{R}^n$ kompaktit osajoukot. Kompaktilla avaruudella on monia hyödyllisiä ja haluttuja ominaisuuksia. Tunnettuna esimerkkinä näistä on se, että jatkuva kuvaus $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ saavuttaa suurimman ja pienemmin arvonsa jokaisessa kompaktissa joukossa.

Lisäksi tutkielmassa perehdytään siihen, miten topologista avaruutta approksimoidaan kompaktilla topologisella avaruudella. Tätä kutsutaan kompaktisoinniksi ja se tapahtuu upottamalla topologinen avaruus kompaktiin topologiseen avaruuteen siten, että alkuperäinen avaruus on topologian mielessä hyvin suuri uudessa kompaktissa avaruudessa. Esimerkkinä kompaktisoinnista annetaan yhden pisteen kompaktisointi ja Stone-Čech-kompaktisointi, jotka tullaan osoittamaan tietyissä tapauksissa pienimmäksi ja suurimmaksi kompaktisoinniksi.

Esitiedoiksi lukijalta vaaditaan perustaidot joukko-opista. Lisäksi Heine-Borelin lauseen ymmärtämiseen vaaditaan tietoja vektoriavaruuksista ja erityisesti euklidisista avaruuksista.

In this thesis we address topological spaces and especially their compactness. Topological spaces are a generalization of inner product spaces, but they don't have the concept of distance. Topological concepts are those that are preserved under continuous deformations, such as stretching and bending. For example in topological terms the interval $(0,1)$ is the same as the entire real axis $\mathbb{R}$

One of the most important topological concepts is compactness and we prove many theorems regarding compactness, the most important of which is by far Tychonoff theorem. As an application of Tychonoff theorem we also prove Heine-Borel theorem which characterizes the compact subsets of the euclidean space $\mathbb{R}^n$. Compact spaces have many useful and wanted properties. A well known example of these is that a continuous mapping $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ attains its minimal and maximal values on any compact interval.

Additionally in this thesis we look into approximating topological spaces with compact topological spaces. This is called compactification and it's done by embedding a topological space into a compact topological space such that the original space is very large in the new compact space in terms of topology. As examples of compactification we give the one point compactification and Stone-Čech-compactification, which turn out to be the smallest and largest compactifications in certain cases.

The reader is expected to have basic understanding of set theory. Additionally, in order to understand the Heine-Borel theorem, the reader must have knowledge of vector spaces, especially of the euclidean space.