Parakompaktius

Abstract

Tämä tutkielma on katsaus topologiaan keskittyen etenkin parakompaktiuteen ja avaruuksien metristyvyyteen. Tutkielmassa esitellään topologian perusteet avoimista joukoista alkaen ja tämän jälkeen käydään läpi tarvittavia esitietoja, kuten topologian kanta, jatkuva funktio ja separaatioaksioomat. Eräs tärkeimmistä esitiedoista on paikallisen äärellisyyden käsite. Parakompaktiutta vahvempi ominaisuus topologiselle avaruudelle on kompaktius. Kompaktin joukon voidaan ajatella olevan yleistys suljetusta ja rajoitetusta välistä reaalilukujen joukossa. Tutkielmassa näytetään, miten kompaktiuden määritelmästä saadaan muotoiltua parakompaktiuden määritelmä ja mitä tuloksia parakompaktiuden nojalla topologiselle avaruudelle voidaan todistaa. Yksi näistä tuloksista on metristyvyys, joka tarkoittaa, että kyseisessä topologisessa avaruudessa voidaan määritellä etäisyyden käsite. Metristyvyydelle on topologian historian aikana annettu useita ehtoja ja tässä tutkielmassa niistä esitetään kolme. Kaksi ensimmäistä näistä, eli Urysonin metristyvyyslause ja Nagata-Smirnovin metristyvyyslause, eivät käytä todistuksissaan parakompaktiutta. Viimeisenä esitettävä Smirnovin metristyvyyslause taas käyttää parakompaktiutta. Tutkielmassa käsitellän useita parakompaktiuden sovelluksia. Smirnovin metristyvyyslauseen lisäksi tarkastellaan monistoja, joille saadaan parakompaktiutta käyttäen osoitettua erilaisia ominaisuuksia. Monistot ovat topologisia avaruuksia, jotka paikallisesti näyttävät euklidisilta avaruuksilta. Esimerkiksi fysiikassa aika-avaruutta voidaan mallintaa monistona. Parakompaktiuden sovellukset ovat usein seurausta ykkösen osituksen olemassaolosta. Ykkösen osituksessa laajennetaan paikallisesti määriteltyjä jatkuvia funktioita koko avaruuteen.