Koeben 1/4-lause ja Haymanin-Wun lause

Abstract

Tässä tutkielmassa osoitetaan päätuloksina Koeben 1/4-lause sekä Haymanin-Wun lause. Koeben 1/4 -lause kertoo, että analyyttinen injektio f ei voi kutistaa yksikkökiekkoa D pienemmäksi kuin yhteen neljäsosaan alkuperäisestä, kun funktio f häviää origossa ja derivaatan arvo origossa on 1. Haymanin-Wun lause puolestaan antaa käyrän φ-1(Ω ∩ L) pituudelle ylärajan 4π, kun Ω on yhdesti yhtenäinen kompleksitason alue, L on mielivaltainen aluetta Ω leikkaava suora ja φ on konformikuvaus yksikkökiekolta D alueelle Ω. Tutkielmassa esitellään aluksi hyödyllisiä aputuloksia sekä määritelmiä, joita tarvtaan myöhemmin toisten tulosten todistamiseksi. Osalle näistä aputuloksista esitellään myös todistukset. Tutkielman teorian pohjalla on tärkeässä roolissa konformikuvaukset, joten niihin tutustutaan aputulosten jälkeen ensimmäiseksi. Konformikuvauksista tarkastellaan esityisesti Möbius-kuvauksia, jotka ovat hyödyllinen konformikuvausten kategoria, minkä jälkeen esitellään kaksoissuhde sekä Möbius-kuvausten löytäminen sen avulla. Lisäksi todistetaan keskeinen konformikuvauksiin liittyvä tulos Riemannin kuvauslause, jonka nojalla mielivaltaiselta kompleksitason yhdesti yhtenäiseltä alueelta on olemassa konformikuvaus yksikkökiekolle D. Haymanin-Wun lauseen todistuksessa käytetään apuna hyperbolista ja pseudohyperbolista metriikkaa yksikkökiekossa D sekä harmonisen mitan ominaisuuksia. Näistä esitellään perusominaisuuksia sekä todistuksille tarpeelliset tulokset. Lisäksi osoitetaan Schwarzin lemma sekä Schwarzin-Pickin lause. Koeben 1/4-lauseen todistus puolestaan pohjaa konformiseen moduliin sekä sen ominaisuuksiin, erityisesti Grötzschin lauseeseen sekä polkuperheiden konformiseen moduliin annuluksessa. Tutkielmassa tarkastellaan myös kahdesti yhtenäisiä alueita sekä niiden välisiä konformikuvauksia.