Koeben 1/4-lause ja Haymanin-Wun lause
Authors
Date
2024Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä tutkielmassa osoitetaan päätuloksina Koeben 1/4-lause sekä Haymanin-Wun lause. Koeben 1/4 -lause kertoo, että analyyttinen injektio f ei voi kutistaa yksikkökiekkoa D pienemmäksi kuin yhteen neljäsosaan alkuperäisestä, kun funktio f häviää origossa ja derivaatan arvo origossa on 1. Haymanin-Wun lause puolestaan antaa käyrän φ-1(Ω ∩ L) pituudelle ylärajan 4π, kun Ω on yhdesti yhtenäinen kompleksitason alue, L on mielivaltainen aluetta Ω leikkaava suora ja φ on konformikuvaus yksikkökiekolta D alueelle Ω. Tutkielmassa esitellään aluksi hyödyllisiä aputuloksia sekä määritelmiä, joita tarvtaan myöhemmin toisten tulosten todistamiseksi. Osalle näistä aputuloksista esitellään myös todistukset. Tutkielman teorian pohjalla on tärkeässä roolissa konformikuvaukset, joten niihin tutustutaan aputulosten jälkeen ensimmäiseksi. Konformikuvauksista tarkastellaan esityisesti Möbius-kuvauksia, jotka ovat hyödyllinen konformikuvausten kategoria, minkä jälkeen esitellään kaksoissuhde sekä Möbius-kuvausten löytäminen sen avulla. Lisäksi todistetaan keskeinen konformikuvauksiin liittyvä tulos Riemannin kuvauslause, jonka nojalla mielivaltaiselta kompleksitason yhdesti yhtenäiseltä alueelta on olemassa konformikuvaus yksikkökiekolle D. Haymanin-Wun lauseen todistuksessa käytetään apuna hyperbolista ja pseudohyperbolista metriikkaa yksikkökiekossa D sekä harmonisen mitan ominaisuuksia. Näistä esitellään perusominaisuuksia sekä todistuksille tarpeelliset tulokset. Lisäksi osoitetaan Schwarzin lemma sekä Schwarzin-Pickin lause. Koeben 1/4-lauseen todistus puolestaan pohjaa konformiseen moduliin sekä sen ominaisuuksiin, erityisesti Grötzschin lauseeseen sekä polkuperheiden konformiseen moduliin annuluksessa. Tutkielmassa tarkastellaan myös kahdesti yhtenäisiä alueita sekä niiden välisiä konformikuvauksia.
...
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [28989]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Möbius-kuvaukset ja hyperbolinen geometria
Jääskeläinen, Jenny (2021)Tämä Pro Gradu tutkielma käsittelee Möbius-kuvauksia, hyperbolista geometriaa sekä näiden välisiä yhteyksiä. Tutkielman alussa perehdytään kompleksilukujen perusominaisuuksiin sekä tarkastellaan laajennettua kompleksitasoa, ... -
Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla
Kauppinen, Jussi (2020)Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ... -
Äärellisen väännön kuvaukset : diskreettisyys ja avoimuus
Rasimus, Martti (2015)Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella äärellisen väännön kuvauksia euklidisissa avaruuksissa, erityisesti niiden diskreettisyyttä ja avoimuutta. Äärellisen väännön kuvaukset ovat yleistys kvasisäännöllisistä k ... -
Kompleksiset vektoriavaruudet
Särkijärvi, Tuomas (2020)Tässä matematiikan pro gradu -tutkielmassa perehdytään kompleksisiin vektoriavaruuksiin ja sivutaan myös niiden sovelluskohteita. Tutkielman tavoitteena on esitellä riittävät tiedot, jotta lukija voi muodostaa eheän ... -
Rigidity and almost rigidity of Sobolev inequalities on compact spaces with lower Ricci curvature bounds
Nobili, Francesco; Violo, Ivan Yuri (Springer Science and Business Media LLC, 2022)We prove that if M is a closed n-dimensional Riemannian manifold, n \ge 3, with \mathrm{Ric}\ge n-1 and for which the optimal constant in the critical Sobolev inequality equals the one of the n-dimensional sphere \mathbb ...