Geodesic X-ray Transforms in Non-smooth Riemannian Geometries

Abstract

Määräytyykö tuntematon funktio Riemannin monitolla yksikäsitteisesti integraaleistaan kaikkien geodeesien yli? Tämä kysymys, joka tunnetaan geodeettisenä röntgentomografiana, on geometrinen yleistys klassiselle lääketieteellisen kuvantamisen röntgentomografiaongelmalle, jossa halutaan löytää tuntematon funktio, kun tunnetaan sen integraalit suoria pitkin. Ongelman geometrinen yleistys tulee vastaan monien geometristen inversio-ongelmien, kuten reunajäykkyyden ja spektraalijäykkyyden, tutkimuksessa. Tässä tutkielmassa tarkastellaan geodeettistä röntgentomografiaa epäsileässä Riemannin geometriassa. Keskeisiä tutkimuksen kohteita, jotka tunnetaan geodeettisinä röntgenmuunnoksina, ovat erinäiset integraalimuunnokset, jotka paketoivat yhteen funktion tai tensorikentän integraalit geodeesien yli. Tutkielmassa kohdataan kahden tyyppistä epäsileää geometriaa; globaalisti epäsileitä Riemannin metriikoita ja Riemannin metriikoita, jotka ovat singulaarisia moniston reunalla. Tutkielma koostuu neljästä artikkelista, joissa on tuloksia liittyen sekä röntgenmuunnoksiin, että itse epäsileisiin geometrioihin. Tutkielmassa todistetaan, että Lipschitz-funktioiden geodeettinen röntgenmuunnos on injektiivinen yksinkertaisilla Riemannin monistoilla, kun Riemannin metriikka on <i>C</i>^1,1-säännöllinen. Todistetaan myös, että <i>C</i>^1,1-säännöllisten 1-muotojen ja korkeamman asteen tensorikenttien röntgenmuunnos on solenoidisesti injektiivinen epäpositiivisesti kaarevilla yksinkertaisilla Riemannin monistoilla, kun metriikka on <i>C</i>^1,1-säännöllinen. Nämä tulokset perustuvat energiametodeihin ja Pestov-identiteettien käyttöön. Injektiivisyystuloksien lisäksi annetaan määritelmä moniston yksinkertaisuudelle, joka on yhteensopiva matalan säännöllisyyden kanssa, ja osoitetaan, että uusi määritelmä on yhtäpitävä tavallisten määritelmien kanssa, kun metrinen säännöllisyys on <i>C</i>^∞. Näitä injektiivisyystuloksia täydennetään tarkastelemalla röntgenmuunnoksen normaalioperaattoria epäsileässä geometriassa. Normaalioperaattorin epäsileään mikrolokaaliin analyysiin perustuen osoitetaan, että geodeettinen röntgenmuunnos on injektiivinen <i>L</i>²-funktioilla, kun Riemannin metriikka on yksinkertainen, mutta äärellisen monta kertaan derivoituva. Tarvittujen derivaattojen lukumäärä riippuu eksplisiittisesti moniston dimensiosta. Riemannin metriikoita, jotka ovat <i>C</i>^∞-sileitä moniston sisällä, mutta jotka konformisesti räjähtävät tiettyä tahtia moniston reunalla, kutsutaan kaasujättimetriikoiksi. Tällaiset Riemannin metriikat ovat sukua asymptoottisesti hyperbolisille metriikoille, mutta eroavat kuitenkin käytökseltään. Kaasujättimetriikat liittyvät luonnollisesti aaltoliikkeeseen kaasujättiplaneetoilla. Kaasujättien tiheys lähestyy nollaa planeetan pinnalla toisin kuin kiviplaneetoilla, joka määrää singulariteetin erityisen tyypin. Räjähdystahdin määrää polytrooppinen tilayhtälö. Tutkielmassa todistetaan ja sovelletaan Pestov-identiteettejä osoittamaan, että kaasujättien röntgenmuunnos on injektiivinen. Lisäksi tutkielmassa kehitetään kaasujättimetriikoiden differentiaaligeometriaa ja erityisesti geodeesien geometriaa sekä tutkitaan kaasujättimetriikoiden Laplace–Beltramioperaattorin analyyttisiä ominainaisuuksia. Tutkielman johdanto-osiosta löytyy yleiskatsaus röntgentomografiaan Riemannin geometriassa ja sen taustalta löytyviin geometrisiin esitietoihin. Johdanto-osio sisältää myös yleiskatsauksen tutkielman artikkeleihin..

Is a function uniquely determined by its integrals over geodesics of a Riemannian manifold? This question — known as geodesic X-ray tomography — is a geometric generalization of the classical problem of recovering a function from its integrals along lines encountered in medical applications of X-ray tomography. The geometric question naturally arises from a various geometric inverse problems such as boundary rigidity and spectral rigidity. This thesis studies geodesic X-tomography problems in non-smooth Riemannian geometries. The central objects of interest — known as geodesic X-ray transforms — are various integral transforms encoding the integrals of a function or a tensor field over the geodesics. We encounter two different types of non-smooth geometries: globally non-smooth Riemannian metrics and Riemannian metrics singular at the boundary of the manifold. The thesis contains four articles recording results on X-ray transforms and the geometries themselves. We prove that the geodesic X-ray transform of Lipschitz scalar functions is injective on simple Riemannian manifolds with <i>C</i>^1,1 regular metrics. We prove that the X-ray transforms of <i>C</i>^1,1 smooth 1-forms and tensor fields of higher rank are solenoidally injective on simple Riemannian manifolds of non-positive sectional curvature with <i>C</i>^1,1 regular metrics. These results are based on energy methods and the use of the so called Pestov identity. In addition to injectivity results, we produce a redefinition of simplicity that is compatible with non-smooth geometry, and prove that the redefinition is equivalent to any standard definition of simplicity for <i>C</i>^∞ smooth Riemannian metrics. We supplement the injectivity results by considering the normal operator of the X-ray transform in non-smooth geometry. Based on non-smooth microlocal analysis of the normal operator we prove that the geodesic X-ray transform is injective on <i>L</i>² when the Riemannian metric is simple but only finitely differentiable. The number of derivatives needed depends explicitly on the dimension of the manifold. Riemannian metrics that are <i>C</i>^∞ smooth in the interior of a manifold with boundary but have a conformal blow up of a specific strength at the boundary are called gas giant metrics. Such Riemannian metrics are different from but relatives of asymptotically hyperbolic metrics, and arise naturally in the study of wave propagation in gas giant planets. The specific type of singularity is related to the fact that unlike on terrestrial planets the density of a gas giant planet goes to zero at the surface. The specific blow up rate comes from a polytropic model. We prove and apply Pestov identities in gas giant geometry to show that the X-ray transform on a gas giant is injective. We develop the differential geometry of gas giant metrics with an emphasis on the geometry of geodesics, and study the basic analytic properties of the Laplace–Beltrami operator associated to a gas giant metric. The introduction part of the thesis contains an overview of the X-ray tomography in Riemannian geometry and the geometric preliminaries behind it. An overview of the included articles is also provided.