Pseudokäänteismatriisit ja pienimmän neliösumman menetelmä

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on käsitellä pseudokäänteismatriiseja ja pienimmän neliösumman menetelmää sekä niiden taustalla olevaa lineaarialgebran teoriaa. Pienimmän neliösumman menetelmä on tutkielman huipentuma ja sitä ennen perehdytään laajasti lineaarialgebran teorioihin. Tutkielma alkaa lineaarialgebran perusmääritelmillä luoden samalla pohjaa myöhemmin käsiteltäville aiheille.

Tutkielman ensimmäinen merkittävä teema on matriisin singulaariarvohajotelma, jonka mukaan jokainen äärellisulotteinen matriisi on esitettävissä kolmen matriisin tulona. Tullaan todistamaan väite, että singulaariarvohajotelma on olemassa. Nimi singulaariarvohajotelma on tullut siitä, että yksi hajotelman matriiseista sisältää alkuperäisen matriisin singulaariarvot.

Toinen merkittävä teema on pseudokäänteismatriisi, jonka olemassa olo ja yksikäsitteisyys todistetaan. Tullaan huomaamaan, että pseudokäänteismatriisin ja singulaariarvohajotelman välillä on kytkös; singulaariarvohajotelman matriiseista saadaan muodostettua pseudokäänteismatriisi. Lisäksi käsitellään pseudokäänteismatriisin perusominaisuuksia sekä lohkotun matriisin pseudokäänteismatriisia.

Tutkielman lopussa päästään käsittelemään pienimmän neliösumman menetelmää. Määritellään pienimmän neliösumman ratkaisu ja otetaan käyttöön kaksi laskutapaa, jolla pienimmän neliösumman ratkaisu saadaan. Ensimmäinen laskutapa soveltuu niin sanotuille normaaleille yhtälöryhmille ja jälkimmäinen laskutapa soveltuu yleisesti kaikille yhtälöryhmille. Jälkimmäinen laskutapa kytkeytyy pseudokäänteismatriisiin siten, että sen laskukaavassa esiintyy kyseinen matriisi. Pienimmän neliösumman menetelmää soveltaen saadaan erilaisille pisteaineistoille määritettyä paras mahdollinen kuvaaja.