Show simple item record

dc.contributor.advisorParkkonen, Jouni
dc.contributor.authorMörsky, Matti
dc.date.accessioned2024-06-06T07:16:22Z
dc.date.available2024-06-06T07:16:22Z
dc.date.issued2024
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/95581
dc.description.abstractTässä työssä tutkitaan primitiivisiä juuria ja niiden erilaisia sovelluksia. Sovelluksissa käydään läpi rationaalilukujen desimaaliesityksen ominaisuuksia, näennäissatunnauslukugeneraattorin teoriaa ja indeksiaritmetiikkaa. Aluksi työssä käydään läpi olennaisia määritelmiä, esimerkkejä ja lauseita, joiden jälkeen määritellään primitiivinen juuri. Primitiivinen juuri on yksiköiden ryhmän Un virittävä alkio. Tällöin yksiköiden ryhmä on syklinen. Hyödyllisen apulauseen avulla voidaan testata, onko jokin alkio primitiivinen juuri. Seuraavaksi tutkitaan syklisiä yksiköiden ryhmiä ja todistetaan, että alkuluvuille p löytyy aina primitiivinen juuri yksiköiden ryhmästä Up. Lisäksi huomataan syklisten ryhmien välisiä yhteyksiä ja määritetään primitiivisten juurien määrä Eulerin funktion avulla. Primitiivisten juurten sovelluksissa tutkitaan rationaalilukujen desimaaliesityksien jaksollisuutta. Ensin selvitetään, milloin rationaaliluku on päättyvä. Huomataan, että jos luvun 1/n desimaaliesitys on päättymätön, niin se on jaksollinen ja sen jakson pituus on korkeintaan n − 1. Lisäksi, jos 10 on primitiivinen juuri modulo n, niin desimaaliesityksen pituus on kertaluku ϕ(n). Tämän jälkeen tarkastellaan näennäissatunnaislukuja tuottavaa menetelmää ja primitiivisten juurten käyttöä näennäissatunnaisgeneraattorissa. Hyödyllisen lauseen avulla voidaan löytää primitiivisen juuren potensseista vielä suurempia primitiivisiä juuria, jolloin näennäissatunnaislukujen löytäminen vaikeutuu. Lopuksi hyödynnetään vielä primitiivisiä juuria määrittelemään indeksi, jota voidaan hyödyntää kongruenssiyhtälöiden ratkaisemisessa sekä määrittäessä onko kongruenssiyhtälöllä ratkaisua ja kuinka monta niitä on.fi
dc.format.extent42
dc.language.isofin
dc.rightsIn Copyright
dc.subject.otherprimitiivinen juuri
dc.subject.otheryksiköiden ryhmät
dc.titlePrimitiiviset juuret ja niiden sovellukset
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-202406064341
dc.type.ontasotMaster’s thesisen
dc.type.ontasotPro gradu -tutkielmafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.oppiaineTeacher education programme in Mathematicsen
dc.contributor.oppiaineMatematiikan opettajankoulutusfi
dc.rights.accesslevelopenAccess
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysomatematiikka
dc.subject.ysorationaaliluvut
dc.subject.ysolukuteoria
dc.subject.ysoryhmät
dc.subject.ysoaritmetiikka
dc.subject.ysoalkuluvut
dc.subject.ysoalgebra
dc.rights.urlhttps://rightsstatements.org/page/InC/1.0/


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record

In Copyright
Except where otherwise noted, this item's license is described as In Copyright