Joukkojen piirrettävyys

Abstract

Tässä tutkielmassa tutkitaan tasossa olevien joukkojen piirrettävyyttä. Piirrettävyys määritellään kahden työkalun eli kynän ja kumin yhteistyönä, jotka molemmat muodostavat 1-säteisen kiekon kokoisen jäljen tasoon. Näistä jäljistä kynän jättämä musta jälki muodostaa tutkittavat piirrettävät joukot ja kumin jättämä valkoinen jälki piirrettävien joukkojen komplementin tason koskemattoman valkoisen alueen kanssa. Työkalun jättämän kiekon muotoisen jäljen ollessa avoin puhutaan piirrettävyydestä, mutta jos kiekko määritellään suljetuksi, puhutaan SYK- eli suljetuin 1-säteisten kiekoin piirrettävyydestä. Tutkielma koostuu kahdesta päätuloksesta, joista ensimmäinen on, ettei (2x2)-shakkiruudukko ole piirrettävä. Kuitenkin pyöristämällä (2x2)-shakkiruudukon sisäkulmia joukosta saadaan paikallisesti piirrettävä. Tutkittaessa (2x2)-shakkiruudukon piirrettävyyttä hyödynnetään lemmaa, jonka avulla saadaan muodostettua ei-piirrettäviä joukkoja sekä tutkittua myös muiden joukkojen piirrettävyyttä. Tutkielman toisessa päälauseessa sanotaan, että kaikki piirrettävät joukot ovat Lebesgue-mitallisia. Toisaalta on olemassa tason mitallisia osajoukkoja, jotka eivät ole piirrettäviä. Lisäksi tutkitaan tason piirrettävien joukkojen kokoelman mahtavuutta verrattuna tason Lebesgue-mitallisten osajoukkojen kokoelmaan, tason konveksien joukkojen piirrettävyyttä sekä piirrettävien joukkojen kuuluvuutta Borel-joukkojen kokoelmaan.