Lineaariset Diofantoksen yhtälöryhmät

Abstract

Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee lineaarisia Diofantoksen yhtälöryhmiä. Tällä tarkoitetaan, että ratkaistavana on samanaikaisesti useampia lineaarisia kokonaislukukertoimisia yhtälöitä, joille etsitään kokonaislukuratkaisua. Diofantoksen yhtälöt ovat yleisesti laajempi kokonaisuus, josta lineaariset Diofantoksen yhtälöryhmät ovat erikoistapaus. Kokonaislukukertoimiset yhtälöt ovat saaneet nimekseen Diofantoksen yhtälöt kreikkalaisen matemaatikon Diofantos Aleksandrialaisen mukaan.

Pro gradu -tutkielman lähtökohtina toimivat lukion matematiikasta tutut lineaarinen yhtälöryhmä sekä Diofantoksen yhtälö. Lukion oppikirjoissa nämä kaksi aihetta esitetään erillään ja ovat toisistaan selvästi eroavia aiheita. Tässä tutkielmassa yhdistetään nämä kaksi aihetta yhdeksi kokonaisuudeksi lineaarisiksi Diofantoksen yhtälöryhmiksi. Lineaarisille Diofantoksen yhtälöryhmille esitetään tutkielmassa tuloksia, joita vertaillaan lineaarisen yhtälöryhmien sekä Diofantoksen yhtälöiden vastaaviin tuloksiin.

Lineaarisen yhtälöryhmän ja lineaaristen Diofantoksen yhtälöryhmien välillä esitetään niiden samankaltaisuus ratkaisujoukon kohdalla. Ratkaisujoukot pitävät sisällään yhtälöryhmän yksittäisratkaisun sekä yhtälöryhmän homogeenisen osan ratkaisun. Lineaarisen yhtälöryhmän kohdalla ratkaisujoukon homogeenista osaa kutsutaan lineaariavaruudeksi ja lineaaristen Diofantoksen yhtälöryhmien kohdalla hilaksi.

Lineaaristen Diofantoksen yhtälöryhmien ja Diofantoksen yhtälöiden kohdalla samankaltaisuutta löydetään ratkaisumenetelmistä. Molemmissa ratkaisumenetelmissä Eukleideen algoritmi on merkittävässä osassa. Diofantoksen yhtälöiden tapauksessa Eukleideen algoritmia suoritetaan pääsääntöisesti algebrallisesti, kun taas lineaaristen Diofantoksen yhtälöryhmien tapauksessa Eukleideen algoritmi on piilotettuna matriisikertolaskuun. Tutkielmassa kuitenkin osoitetaan, että itse asiassa algoritmit hyödyntävät Eukleideen algoritmia samalla tavalla.

Lineaaristen Diofantoksen yhtälöryhmien ratkaisemista varten pro gradu -tutkielmassa tärkeimpinä sisältöinä toimivat Smithin normaalimuoto ja Siegelin lemma. Smithin normaalimuodon avulla lineaarinen Diofantoksen yhtälöryhmä voidaan muuttaa ekvivalenttiin muotoon yksinkertaisemman lineaarisen Diofantoksen yhtälöryhmän kanssa, josta sen ratkaiseminen on yksinkertaisempaa. Siegelin lemma taas antaa arviota lineaarisen Diofantoksen yhtälöryhmän homogeeniselle osalle. Lemman avulla homogeenisen osan ratkaisun koolle pystytään antamaan arvio.

Tutkielman lopuksi lineaarisia Diofantoksen yhtälöryhmiä tutkitaan opetuksen näkökulmasta. Diofantoksen yhtälöiden ratkaisumenetelmiä sekä esitystapoja lukion oppikirjoissa vertaillaan tämän tutkielman ratkaisumenetelmiin ja esitystapoihin. Vertailussa pyritään löytämään yhtäläisyyksiä sekä eroavaisuuksia. Lisäksi aivan tutkielman viimeisenä asiana pohditaan, miten Diofantoksen yhtälöiden opettamista voitaisiin kehittää kouluissa. Pohdinnoissa mietitään muun muassa, miten koulussa Diofantoksen yhtälöiden avulla voitaisiin luoda syvempää ymmärrystä lineaarisiin yhtälöryhmiin.