Painotusotanta vakioivilla muuttujilla ja sekoitejakaumilla

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on perehtyä painotusotantaan ja sen varianssin pienentämiseen vakioivien muuttujien ja sekoitejakaumien avulla. Sekä painotusotanta että vakioivat muuttujat ovat Monte Carlo -menetelmiä, ja tässä tutkielmassa keskitytään niiden käyttämiseen odotusarvon integraalin stokastisessa simuloinnissa. Tutkielmassa tarkastellaan kirjallisuudessa esitettyä painotusotannan parannusehdotusta, joka mahdollisesti parantaa menetelmän tehokkuutta pienentämällä varianssia ja samalla suojaa menetelmää epäonnistumiselta.

Painotusotanta perustuu todennäköisyysmitan vaihtamiseen tehokkuuden parantamiseksi. Sen estimaattoriin voidaan lisätä vakioivat muuttujat, joilla varianssin pienennys perustuu korrelaatioon alkuperäisen muuttujan ja vakioivan muuttujan välillä. Vakioivien muuttujien kertoimet täytyy estimoida, sillä varianssin pienentämisen kannalta optimaalisia kertoimia ei yleensä voida laskea. Tämän tutkielman päätuloksena onkin lause, jonka mukaan muutaman ehdon pätiessä optimaalisten kertoimien korvaaminen pienimmän neliösumman estimaattorilla on vaikutukseltaan asymptoottisesti merkityksetöntä. Sen yksityiskohtaisessa todistuksessa käytetään todennäköisyyslaskennan perustuloksia, stokastista kertaluokkaa, matriisilaskentaa sekä analyysin differentiaali- ja integraalilaskentaa.

Vakioivien muuttujien lisäksi painotusotannan parannusehdotukseen liittyy sekoitejakauman käyttäminen estimaattorissa. Sekoitejakaumalla tarkoitetaan todennäköisyysjakaumaa, jonka tiheysfunktio on painotettu summa tiheysfunktioista. Yhdistämällä vakioivat muuttujat ja sekoitejakaumaa käyttävä painotusotanta saadaan estimaattori, jonka varianssi todistetaan ylhäältä rajoitetuksi. Lisäksi osoitetaan, että menetelmän varianssi ei ole suurempi kuin vastaavan painotusotannan varianssi parhaimmillaan. Täten, koska estimaattori välttää painotusotannan mahdollisen äärettömän varianssin eikä myöskään suurenna varianssia, voidaan todeta, että parannusehdotusta käyttävä menetelmä on turvallinen ja tehokas versio painotusotannasta.