Matriisihajotelmia

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella matriisin kolmea erilaista hajotelmaa. Matriisihajotelmien avulla matriisi voidaan esittää hyödyllisessä muodossa muita tuloksia varten. Tutkielmassa perehdytään matriisin CR-hajotelmaan, symmetrisen matriisin diagonaalihajotelmaan sekä singulaariarvohajotelmaan. Lisäksi singulaariarvohajotelman sovelluksena käsitellään matriisin perturbaatiota. Matriisin CR-hajotelmassa matriisi A esitetään matriisien C ja R avulla muodossa A = CR. Tässä hyödynnetään matriisin A astetta, lineaarisesti riippumattomia sarakkeita sekä redusoitua porrasmatriisia. Tutkielmassa tarkastellaan myös, miten symmetrinen matriisi A voidaan ortogonaalisesti diagonalisoida diagonaalimatriisin D ja ortogonaalisen matriisin V avulla muodossa A=VDV^T. Tätä kutsutaan symmetrisen matriisin diagonaalihajotelmaksi. Hajotelmassa matriisin D diagonaalialkiot koostuvat matriisin A ominaisarvoista ja matriisi V kyseisiä ominaisarvoja vastaavista ominaisvektoreista. Kolmantena hajotelmana tutkielmassa käsitellään matriisin A singulaariarvohajotelmaa A = UΣV^T, missä matriisi Σ on singulaariarvoista koostuva diagonaalimatriisi ja matriisit U ja V ovat ortogonaalisia. Lisäksi singulaariarvohajotelman avulla todistetaan matriisin perturbaatiolause, jossa tarkastellaan matriisin A+cd^T astetta, kun tässä matriisin cd^T aste on yksi.