Hydrostaattinen tasapainoyhtälö yleisessä suhteellisuusteoriassa valkoisen kääpiön sovelluksessa

Abstract

Tässä kandidaatin tutkielmassa johdattelen lukijan tutustumaan yleisen suhteellisuusteorian käsitteisiin ja notaatioihin. Tutkielmassa tutustutaan muun muassa tensoreihin, Einsteinin yhtälöihin sekä aika-avaruuden kaarevuuteen ja sitä kuvaavaan metriikkaan. Yleiseen suhteellisuusteoriaan tutustumisen lisäksi johdan TOV (Tolmann-Oppenheimer-Volkoff) - yhtälön ratkaisemalla Einstein yhtälöt yleisessä aikainvariantissa, pallosymmetrisessä metriikassa. Sovellan TOV-yhtälöä myös valkoisten kääpiöiden ja degeneroituneen elektronikaasun tapauksessa ja ratkaisen sen numeerisesti Python-koodilla. Ratkaisuna TOV-yhtälöön saadaan valkoisen kääpiön rakenne, ja useaa tähteä mallintamalla saadaan valkoisen kääpiön massa-säde relaatio, josta pystytään lukemaan valkoisen kääpiön maksimaalinen mahdollinen massa Chandrasekharin rajalla (noin 1.4 M⊙, jossa M⊙ tarkoittaa Auringon massa). Tämän lisäksi vertailen relativistisen ja epärelativistisen hydrostaattisen tasapainoyhtälön eroa massa-säde relaation avulla sekä laskemalla eri teorioiden tiheysprofiilien välisen suhteen.

In this bachelor’s thesis, I introduce the reader to the concepts and notations of general relativity. In the thesis, I will present, among other things, tensors, Einstein’s equations and the curvature of space-time and the metric that describes it. In addition to familiarizing myself with the general theory of relativity, I derive the TOV (Tolmann-Oppenheimer-Volkoff) equation by solving the Einstein equations in the general time-invariant, spherically symmetric metric. I apply the TOV equation also in the case of white dwarfs and degenerate electron gas and solve it numerically with a Python code. As a solution to the TOV equation, the mass, pressure and density profile of the white dwarf is obtained. By modeling several stars, the mass-radius relation of the white dwarf is obtained, from which the maximum possible mass of the white dwarf at the Chandrasekhar limit (approximately 1.4 M⊙, where M⊙ is the Solar mass) can be read. In addition to this, the difference between the relativistic and non-relativistic hydrostatic equilibrium equations are compared using the mass-radius relation and by calculating the ratio between the density profiles of different theories.