Lineaariset toisen asteen hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Abstract

Tässä työssä tutkitaan toisen asteen lineaarisia hyperbolisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Toisen asteen lineaariset hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat luonnollinen yleistys aaltoyhtälölle $$u_{tt} + \Delta u = f$$, jossa $\Delta$ on Laplacen operaattori $\Delta u = \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}$. Aaltoyhtälö kuvaa nimensä mukaisesti aaltojen liikettä, ja siitä voidaan johtaa aaltojen ominaisuuksia. Hyperboliset osittaisdifferentiaaliyhtälöt kuvaavat aaltojen liikettä kun ne ovat mahdollisesti huokoisessa tai muuten epätäydellisessä välittäjäaineessa.

Työn päätulokset ovat, että hyperbolisille yhtälöille on olemassa heikko ratkaisu (Lause 4.3), ja että heikko ratkaisu on yksikäsitteinen (Lause 4.4). Lisäksi käsitellään ratkaisuiden käyttäytymistä, etenkin sitä miten ongelman alkuarvot vaikuttavat ratkaisun arvoihin myöhemmällä ajanhetkellä $t_0$. Nähdään, että yhtälön ratkaisuiden alkudata etenee äärellisellä nopeudella, joka on hyvin erilainen käytös verrattuna hyvin samantapaisiin parabolisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Esimerkki parabolisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä on lämpöyhtälö. Parabolisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden alkudata vaikuttaa koko funktion määrittelyjoukkoon välittömästi. Lauseen 4.3 todistuksessa käytetään niin sanottua Galerkinin menetelmää. Lauseen 4.4 todistuksessa käytetään hyväksi tutkittavan yhtälön lineaarisuutta. Yhtälön lineaarisuuden nojalla riittää osoittaa, että jos alkudata on $0$, niin ainoa mahdollinen ratkaisu on identtisesti $0$.

Funktion ratkaisuiden käyttäytymisessä pidättäydytään yksinkertaisessa esimerkkitapauksessa. Oletetaan, että $u$ on sileä ratkaisu kyseiseen ongelmaan, ja osoitetaan, että jos $u$:n alkudata on identtisesti nollaa tietyssä alueessa, niin $u$ on edelleen nollaa myöhemmällä ajanhetkellä $t_0$. Tämä kertoo meille, että kyseisen alueen ulkopuolella oleva alkudata ei vaikuta $u$:n arvoihin jollain myöhemmällä ajanhetkellä $t$, eli ongelman alkudata etenee äärellisellä nopeudella.

Hyperbolisten yhtälöiden tutkiminen on tärkeää, koska ne esiintyvät monissa matemaattisissa ja fysikaalisissa ongelmissa. Aaltoyhtälöllä voidaan mallintaa monenlaisia aaltoja, kuten sähkömagneettisia aaltoja tai ääniaaltoja. Yleisemmillä hyperbolisilla yhtälöillä voidaan tutkia aaltoja jotka kulkevat monimutkaisessa väliaineessa, esimerkiksi veden eteneminen huokoisen kiven läpi.

Hyperbolisten yhtälöiden tutkimuksella on pitkä historia. Aaltoyhtälön tutkimus alkoi Jean d'Alembertista joka johti yksiulotteisen aaltoyhtälön ja ratkaisi sen vuonna 1752. Tästä kaksi- ja kolmiulotteisten aaltoyhtälöiden tapauksissa jatkotutkimusta ja yleistystä tekivät Euler (1759) ja D. Bernoulli (1762). Myöhemmin Riemann tutki hyperbolisia yhtälöitä 1850- ja 1860 luvuilla, ja hänen jälkensä viimeistelivät Pierre Henri Hugoniot ja William Rankine heidän shokkiaaltojen teoriallaan. Ennen 1920-lukua osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisut olivat niin sanottuina klassisia ratkaisuja, eli astetta $n$ olevan yhtälön ratkaisuiden haluttiin olevan ainakin $\mathcal{C}^n$-funktioita. 1920-luvun puolella ja sen jälkeen alettiin kehittää heikkojen ratkaisuiden teoriaa. Tämän lisäksi 1930-luvulla kehiteltyjen Sobolev-avaruuksien ansiosta heikkojen ratkaisuiden teoria kasvoi ja kehittyi, ja on nykytutkimuksessa tärkein osa-alue. Tarkempia historiakatsauksia hyperbolisiin ODYihin liittyen löytyy lähteistä [Gå98], [BB98]. Heikkojen ratkaisuiden teorian historiaa löytyy myös viitteestä [BB98].