Numeerinen integrointi

Abstract

Tämän pro gradu -tutkielman tarkoituksena on syventää ja laajentaa lukion MAA12 kurssin numeerisen integroinnin teoriaa. Tutkielmassa käsitellään Newton-Cotesin integrointimenetelmä sekä Richarsonin ja Rombergin ekstrapolointimenetelmä. Menetelmiä käytetään yksi- ja kaksiulotteiseen integrointiin. Numeerinen integroiminen on pinta-alan laskemista. Pinta-ala on funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä alue, joka rajoittuu integrointiväliin. Integroinnin määritelmäksi on valittu koulumatematiikassa yleisesti käytetty Bernhard Riemannin määritelmä, koska siitä on luontevaa johtaa numeerisen integroinnin menetelmät. Lukion kurssilla esitellyt puolisuunnikassääntö ja Simpsonin 1/3-sääntö ovat Newton-Cotesin numeerisia integrointikaavoja. Näiden integrointikaavojen johtamisessa on käytetty Lagrangen interpolaatiopolynomeja. Lagrangen interpolaatiokaavalla voidaan määrittää polynomi, joka kulkee valittujen pisteiden kautta. Pisteet voivat olla erillisiä tai ne voidaan valita kuvaajalta. Puolisuunnikassäännössä näitä pisteitä on kaksi, ja Simpsonin 1/3-säännössä on kolme pistettä. Pisteitä lisäämällä saadaan johdettua lisää tarkempia integrointikaavoja, kunhan pisteistö on tasavälinen. Kun pisteitä on yli seitsemän, tulee kaavoihin negatiivisia kertoimia ja ne eivät ole käyttökelpoisia. Yleisimmin integrointiväli jaetaankin osaväleihin, jotka integroidaan erikseen ja osavälien integraalit summataan yhteen. Näitä kaavoja kutsutaan yhdistetyiksi kaavoiksi. Tarkkuus paranee, kun osavälien määrä lisääntyy. Kun integraalille ei voida laskea tarkkaa arvoa, on tärkeää tietää virheen suuruusluokka. Virheen arvioiminen on aina suurimman mahdollisen virheen eli maksimaalisen virheen laskemista. Jokaiselle Newton-Cotesin kaavalle voidaan laskea virhe, ja virheelle voidaan määritellä asteluku. Asteluku on Oh^n, jossa h on välin pituus. Mitä suurempi asteluku on, sitä enemmän välinpituuden muutoksella on vaikutusta virheen suuruusluokkaan. Jos asteluku on Oh^4, niin välin pituuden muutos vaikuttaa virheeseen h^4 kertaisesti. Kun osavälejä lisätään, tarkkuus paranee tämän asteluvun rajoissa. Osavälien lisääminen ei paranna integraalin tarkkuutta kovinkaan nopeasti. Euler-MacLauren summakaavalla voidaan puolisuunnikassäännön virhe kirjoittaa sarjana. Tästä sarjamuodosta saadaan johdettua rekursiokaava, jolla saadaan eliminoitua virhetermejä. Tätä h^2 virhetermin eliminointia kutsutaan Richardsonin ekstrapolaatioksi. Ekstrapolointimenetelmällä saadaan lisää tarkkuutta nopeammin, koska asteluku paranee kahdella jokaisella ekstrapolointi kerralla. Tässä menetelmässä ensin jaetaan integroitava väli osaväleihin m = 2,4,8,16, . . . ja lasketaan integraalit eri osaväleille puolisuunnikassäännöllä. Näistä arvoista rekursiokaavalla saadaan uudet tarkemmat arvot. Edelleen samalla tavalla voidaan ekstrapoloida näistä arvoista tarkempia arvoja rekursiokaavalla. Nämä saadut arvot kirjataan taulukkoon, josta voidaan helposti nähdä arvojen tarkentuminen. Tätä rekursiomenetelmää kutsutaan Rombergin menetelmäksi ja taulukkoa Rombergin tauluksi.