Kahden pelaajan stokastiset nollasummapelit ja niiden yhteys p-Laplacen operaattoriin

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on näyttää p-Laplacen yhtälön, joka on Laplacen yhtälön epälineaarinen yleistys, yhteys kahden pelaajan stokastisiin nollasummapeleihin. Tutkielmassa käytetty stokastinen nollasummapeli on niin sanottu häiritty köydenvetopeli (tug-of-war with noise), jolle rakennetaan arvofunktiokandidaatti dynaamisen ohjelmoinnin periaatteen avulla.

Työssä näytetään pelin arvofunktiokandidaatin ratkaisun olemassaolo ja sen yksikäsitteisyys. Lisäksi työssä näytetään martingaalien avulla arvofunktiokandidaatin olevan sama kuin pelin päättymisen odotusarvon minimointi ja maksimointi pelaajien strategioiden mukaisesti. Pelin päättymisen odotusarvon kanssa joudutaan erityisesti varmistamaan, että mitallisten strategioiden valinta on mahdollista.

Lopuksi työssä muodostetaan jono pelien arvofunktioita. Jono rakennetaan kutistamalla pelien askelpituutta kohti 0:aa. Työn päätuloksena osoitetaan, että kyseisen jonon raja-arvo on tällöin viskositeettiratkaisu p-Laplacen yhtälöön. Työssä joudutaan käyttämään viskositeettiteoriaa derivoituvuusongelmien takia.